Sabendo que
, determine
, quando
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar a segunda derivada direcional de uma função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais e derivadas parciais. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função
na direção de um vetor
é dada por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Em seguida, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada direcional
usando o vetor
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a segunda derivada direcional
, que é a derivada direcional da função
na mesma direção
. Ou seja:
Vamos tratar
como uma nova função e calcular suas derivadas parciais.
Passo 6
Calculando as derivadas parciais de
:
Primeira derivada parcial em relação a
:
Primeira derivada parcial em relação a
:
Passo 7
Agora, aplicamos novamente a fórmula da derivada direcional para
:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, substituímos
e
na expressão que encontramos:
Resposta
A segunda derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é
.