Sabendo que Ddotu^2 f(x, y)=Du[Di f(x, y)], determine Du^2 f(2,1), quando f(x, y)=x cdot e^2 y e u=(6,8)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar a segunda derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais e derivadas parciais. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função Du f = fx cdot a + fy cdot b na direção de um vetor é dada por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de fx = partialpartial x (x cdot e^2y) = e^2y .
Primeiro, a derivada parcial em relação a fy = partialpartial y (x cdot e^2y) = x cdot 2e^2y = 2x e^2y :
Em seguida, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada direcional Du f = fx cdot 6 + fy cdot 8 = e^2y cdot 6 + 2x e^2y cdot 8 usando o vetor Du f = 6e^2y + 16x e^2y = (6 + 16x) e^2y :
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada direcional Du^2 f = Du (Du f) , que é a derivada direcional da função na mesma direção . Ou seja:
Vamos tratar como uma nova função e calcular suas derivadas parciais.

Passo 6

Calculando as derivadas parciais de partialpartial x [(6 + 16x) e^2y] = 16e^2y :
Primeira derivada parcial em relação a partialpartial y [(6 + 16x) e^2y] = (6 + 16x) cdot 2e^2y = 2(6 + 16x) e^2y :
Primeira derivada parcial em relação a :

Passo 7

Agora, aplicamos novamente a fórmula da derivada direcional para Du^2 f = (16e^2y) cdot 6 + (2(6 + 16x) e^2y) cdot 8 :
Du^2 f = 96 e^2y + 16(6 + 16x) e^2y
Simplificando:
Du^2 f = 96 e^2y + 96 e^2y + 256x e^2y = (192 + 256x) e^2y

Passo 8

Finalmente, substituímos Du^2 f(2,1) = (192 + 256 cdot 2) e^2 cdot 1 = (192 + 512) e^2 = 704 e^2 e na expressão que encontramos:

Resposta

A segunda derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .

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