Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green
a)
, onde c é o círculo com centro na origem e raio 4.
a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
onde
é o círculo com centro na origem e raio
. O enunciado também pede que façamos isso por dois métodos: (a) diretamente (parametrizando) e (b) usando o Teorema de Green.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (claras e importantes):
Informações dadas e hipóteses que vou usar (claras e importantes):
- A curva
é o círculo definido por (raio ). - Vou assumir a orientação positiva (contra‑horária), que é o padrão quando não é especificado — isso importa porque muda o sinal da integral se a orientação fosse invertida.
- As funções envolvidas são
e .
A partir daqui vou calcular a integral por (a) parametrização direta e (b) aplicando o Teorema de Green.
Passo 2
Método (a) — parametrização direta: apresentar a parametrização e as derivadas.
Para parametrizar o círculo de raio com orientação contra‑horária usamos a parametrização usual
Para parametrizar o círculo de raio
As diferenciais são obtidas derivando em relação a
:
A ideia do método é substituir
em termos de
e transformar a integral de linha numa integral em
.
Passo 3
Método (a) — substituir na integral e simplificar a expressão do integrando.
Substituindo ,
,
e
na expressão
obtemos, passo a passo:
Substituindo
Somando as duas parcelas:
Agora simplificamos termo a termo: os termos com
se cancelam porque temos
. O que resta é
Usamos a identidade trigonométrica fundamental
, então o integrando vira simplesmente
.
Passo 4
Método (a) — integrar em
.
A integral de linha transforma‑se em
A integral de linha transforma‑se em
Portanto, pelo método direto obtemos
.
Passo 5
Breve explicação didática do método direto (fórmula geral) para você lembrar na prova.
Se você tem uma integral de linha de uma forma e a curva é dada por
com
, então a fórmula é
Se você tem uma integral de linha de uma forma
Aqui
e
são as derivadas em relação a
. Use essa fórmula toda vez que parametrizar uma curva — é mecânico: substitui e integra.
Passo 6
Método (b) — Teorema de Green: enunciar e aplicar a fórmula.
O Teorema de Green (forma para circulação) diz que, se é uma curva fechada simples, suave e orientada positivamente, que limita uma região
, então
O Teorema de Green (forma para circulação) diz que, se
Aqui
e
. O que o teorema faz, intuitivamente, é transformar a soma das circulações infinitesimais ao longo da fronteira em uma integral da “rotacional”
sobre a área.
Passo 7
Método (b) — calcular as derivadas parciais, integrar sobre a região
(o disco de raio
).
Calcule as derivadas parciais:
Calcule as derivadas parciais:
Então o integrando do duplo é
Como o integrando é constante igual a
, a integral dupla sobre a região
(o disco de raio
) é simplesmente
vezes a área de
. A área de um disco de raio
é
. Portanto
Portanto, pelo Teorema de Green também obtemos
.
Passo 8
Conclusão e observações finais (motivação e checagem).
Os dois métodos deram o mesmo resultado, como deve acontecer: .
Dica para a prova: se e
são funções lineares simples, muitas vezes o Teorema de Green é muito mais rápido — basta computar duas derivadas parciais e multiplicar pela área, quando o rotacional for constante. Use parametrização quando a equação da curva for simples (círculo, elipse) e você quer verificar passo a passo. Você fez bem em ver os dois para entender e checar.
Os dois métodos deram o mesmo resultado, como deve acontecer:
Dica para a prova: se