Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green
a) \oint_{e}(x-y) d x+(x+y) d y, onde c é o círculo com centro na origem e raio 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
\oint_{C} (x-y)\,dx + (x+y)\,dy,
onde C é o círculo com centro na origem e raio 4. O enunciado também pede que façamos isso por dois métodos: (a) diretamente (parametrizando) e (b) usando o Teorema de Green.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (claras e importantes):
  • A curva C é o círculo definido por \;x^{2}+y^{2}=16\; (raio 4).
  • Vou assumir a orientação positiva (contra‑horária), que é o padrão quando não é especificado — isso importa porque muda o sinal da integral se a orientação fosse invertida.
  • As funções envolvidas são P(x,y)=x-y e Q(x,y)=x+y.
    A partir daqui vou calcular a integral por (a) parametrização direta e (b) aplicando o Teorema de Green.

Passo 2

Método (a) — parametrização direta: apresentar a parametrização e as derivadas.
Para parametrizar o círculo de raio 4 com orientação contra‑horária usamos a parametrização usual
x(t)=4\cos t,\qquad y(t)=4\sin t,\qquad 0\le t\le 2\pi.
As diferenciais são obtidas derivando em relação a t:
dx = x'(t)\,dt = -4\sin t\,dt,\qquad dy = y'(t)\,dt = 4\cos t\,dt.
A ideia do método é substituir x,y,dx,dy em termos de t e transformar a integral de linha numa integral em t.

Passo 3

Método (a) — substituir na integral e simplificar a expressão do integrando.
Substituindo x, y, dx e dy na expressão (x-y)\,dx + (x+y)\,dy obtemos, passo a passo:
x-y = 4\cos t - 4\sin t = 4(\cos t - \sin t),
(x-y)\,dx = 4(\cos t - \sin t)\cdot(-4\sin t\,dt) = -16(\cos t\sin t - \sin^{2}t)\,dt,
x+y = 4\cos t + 4\sin t = 4(\cos t + \sin t),
(x+y)\,dy = 4(\cos t + \sin t)\cdot(4\cos t\,dt) = 16(\cos^{2}t + \sin t\cos t)\,dt.
Somando as duas parcelas:
(x-y)\,dx + (x+y)\,dy = -16(\cos t\sin t - \sin^{2}t)\,dt + 16(\cos^{2}t + \sin t\cos t)\,dt.
Agora simplificamos termo a termo: os termos com \cos t\sin t se cancelam porque temos -16\cos t\sin t + 16\sin t\cos t = 0. O que resta é
-16(-\sin^{2}t) + 16\cos^{2}t = 16(\sin^{2}t + \cos^{2}t).
Usamos a identidade trigonométrica fundamental \sin^{2}t + \cos^{2}t = 1, então o integrando vira simplesmente 16\,dt.

Passo 4

Método (a) — integrar em t.
A integral de linha transforma‑se em
\oint_{C} (x-y)\,dx + (x+y)\,dy = \int_{0}^{2\pi} 16\,dt = 16\cdot(2\pi - 0) = 32\pi.
Portanto, pelo método direto obtemos \;32\pi.

Passo 5

Breve explicação didática do método direto (fórmula geral) para você lembrar na prova.
Se você tem uma integral de linha de uma forma P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy e a curva é dada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) com a\le t\le b, então a fórmula é
\int_{C} P\,dx + Q\,dy = \int_{a}^{b} \big(P(x(t),y(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,dt.
Aqui x'(t) e y'(t) são as derivadas em relação a t. Use essa fórmula toda vez que parametrizar uma curva — é mecânico: substitui e integra.

Passo 6

Método (b) — Teorema de Green: enunciar e aplicar a fórmula.
O Teorema de Green (forma para circulação) diz que, se C é uma curva fechada simples, suave e orientada positivamente, que limita uma região D, então
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui P(x,y)=x-y e Q(x,y)=x+y. O que o teorema faz, intuitivamente, é transformar a soma das circulações infinitesimais ao longo da fronteira em uma integral da “rotacional” \partial Q/\partial x - \partial P/\partial y sobre a área.

Passo 7

Método (b) — calcular as derivadas parciais, integrar sobre a região D (o disco de raio 4).
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x+y) = 1,
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x-y) = -1.
Então o integrando do duplo é
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.
Como o integrando é constante igual a 2, a integral dupla sobre a região D (o disco de raio 4) é simplesmente 2 vezes a área de D. A área de um disco de raio 4 é \pi\cdot 4^{2} = 16\pi. Portanto
\iint_{D} 2\,dA = 2\cdot \text{Area}(D) = 2\cdot 16\pi = 32\pi.
Portanto, pelo Teorema de Green também obtemos \;32\pi.

Passo 8

Conclusão e observações finais (motivação e checagem).
Os dois métodos deram o mesmo resultado, como deve acontecer: \;32\pi.
Dica para a prova: se P e Q são funções lineares simples, muitas vezes o Teorema de Green é muito mais rápido — basta computar duas derivadas parciais e multiplicar pela área, quando o rotacional for constante. Use parametrização quando a equação da curva for simples (círculo, elipse) e você quer verificar passo a passo. Você fez bem em ver os dois para entender e checar.

Resposta

\;32\pi

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