) Calcule:
Utilizando os métodos de somas finitas soma superior e soma inferior, e intervalos de 0,5 . Em seguida, resolva analiticamente, compare e comente os resultados.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral
de duas maneiras: (i) aproximando por somas finitas — soma superior e soma inferior — usando subintervalos de largura
; e (ii) resolvendo analiticamente. Em seguida comparar e comentar os resultados. Informações dadas e condições relevantes: \n
- A função é
. \n - Intervalo de integração:
. \n - Largura do subintervalo pedida:
. \n - Deve-se calcular a soma superior (usando o supremo de cada subintervalo) e a soma inferior (usando o ínfimo de cada subintervalo) com essa malha, e depois a integral exata.
Passo 2
Vou construir a partição com
. O comprimento total do intervalo é
. O número de subintervalos é
Os pontos da partição (endpoints) são
Cada subintervalo é
.
Passo 3
Antes de escolher valores máximos e mínimos em cada subintervalo, verifico o comportamento da função. A derivada é
Como
para todo
, a função é estritamente decrescente em
. Isso significa que, em cada subintervalo, o maior valor de
é obtido na extremidade esquerda e o menor valor é obtido na extremidade direita. Portanto:
- Soma superior (Riemann upper,
) usa os pontos à esquerda: . \n - Soma inferior (Riemann lower,
) usa os pontos à direita: .
Passo 4
Calculo
nos pontos da partição (vou mostrar cada valor): \n
Calculando:
Passo 5
Agora calculo a soma superior
. Como a função é decrescente, uso as extremidades esquerdas de cada subintervalo: pontos
. A fórmula da soma é
Substituindo os valores:
Multiplico por
:
Passo 6
Calculo a soma inferior
. Uso as extremidades direitas
(na prática os 8 valores à direita):
Somando:
Multiplico por
:
Passo 7
Resolução analítica (exata) da integral. Encontro uma primitiva
de
:
Integro termo a termo:
Logo uma primitiva é
A integral definida é
. Calculo exatamente:
Subtraindo (passando ambos para denominador
):
Em decimal isso é
Passo 8
Comparação e comentários finais (didáticos e práticos): \n
- Temos
e , e a integral exata . Observação: , como esperado. \n - A razão disso: com
a aproximação ainda é grosseira; a diferença entre e é
que é relativamente grande. Conforme reduzirmos
(partição mais fina), as somas superior e inferior se aproximariam e convergiriam para o valor exato
. \n
- Interpretação prática: a soma superior (usar pontos à esquerda para função decrescente) superestima a área; a soma inferior subestima. A integral real fica entre elas. \n
- Se precisássemos de uma aproximação numérica melhor sem calcular a integral exata, poderíamos usar a soma de pontos médios ou aumentar o número de subintervalos; esses métodos costumam dar erro menor para a mesma
.