1^{\circ} ) Calcule:
\int_{2}^{6}\left(5-\frac{x^{2}}{10}\right) \cdot d x
Utilizando os métodos de somas finitas soma superior e soma inferior, e intervalos de 0,5 . Em seguida, resolva analiticamente, compare e comente os resultados.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral
\int_{2}^{6}\left(5-\frac{x^{2}}{10}\right)\,dx
de duas maneiras: (i) aproximando por somas finitas — soma superior e soma inferior — usando subintervalos de largura 0,5; e (ii) resolvendo analiticamente. Em seguida comparar e comentar os resultados. Informações dadas e condições relevantes: \n
  • A função é f(x)=5-\dfrac{x^{2}}{10}. \n
  • Intervalo de integração: [2,6]. \n
  • Largura do subintervalo pedida: \Delta x=0,5. \n
  • Deve-se calcular a soma superior (usando o supremo de cada subintervalo) e a soma inferior (usando o ínfimo de cada subintervalo) com essa malha, e depois a integral exata.

Passo 2

Vou construir a partição com \Delta x=0,5. O comprimento total do intervalo é 6-2=4. O número de subintervalos é
n=\frac{4}{0,5}=8.
Os pontos da partição (endpoints) são
2,\,2,5,\,3,\,3,5,\,4,\,4,5,\,5,\,5,5,\,6.
Cada subintervalo é [2,2{,}5],[2{,}5,3],\dots,[5{,}5,6].

Passo 3

Antes de escolher valores máximos e mínimos em cada subintervalo, verifico o comportamento da função. A derivada é
f'(x)=-\frac{x}{5}.
Como f'(x)<0 para todo x>0, a função é estritamente decrescente em [2,6]. Isso significa que, em cada subintervalo, o maior valor de f é obtido na extremidade esquerda e o menor valor é obtido na extremidade direita. Portanto:
  • Soma superior (Riemann upper, U) usa os pontos à esquerda: x_0=2,x_1=2{,}5,\dots,x_7=5{,}5. \n
  • Soma inferior (Riemann lower, L) usa os pontos à direita: x_1=2{,}5,\dots,x_8=6.

Passo 4

Calculo f nos pontos da partição (vou mostrar cada valor): \n
f(x)=5-\frac{x^{2}}{10}.
Calculando:
f(2)=5-\frac{2^{2}}{10}=5-\frac{4}{10}=5-0{,}4=4{,}6,
f(2{,}5)=5-\frac{2{,}5^{2}}{10}=5-\frac{6{,}25}{10}=5-0{,}625=4{,}375,
f(3)=5-\frac{9}{10}=5-0{,}9=4{,}1,
f(3{,}5)=5-\frac{12{,}25}{10}=5-1{,}225=3{,}775,
f(4)=5-\frac{16}{10}=5-1{,}6=3{,}4,
f(4{,}5)=5-\frac{20{,}25}{10}=5-2{,}025=2{,}975,
f(5)=5-\frac{25}{10}=5-2{,}5=2{,}5,
f(5{,}5)=5-\frac{30{,}25}{10}=5-3{,}025=1{,}975,
f(6)=5-\frac{36}{10}=5-3{,}6=1{,}4.

Passo 5

Agora calculo a soma superior U. Como a função é decrescente, uso as extremidades esquerdas de cada subintervalo: pontos 2,2{,}5,3,3{,}5,4,4{,}5,5,5{,}5. A fórmula da soma é
U=\sum_{k=0}^{7} f(x_k)\,\Delta x = \Delta x\cdot\big(f(2)+f(2{,}5)+\cdots+f(5{,}5)\big).
Substituindo os valores:
\begin{aligned} \text{soma dos }f(x_k)&=4{,}6+4{,}375+4{,}1+3{,}775+3{,}4+2{,}975+2{,}5+1{,}975\\\ &=27{,}7. \end{aligned}
Multiplico por \Delta x=0{,}5:
U=0{,}5\cdot 27{,}7=13{,}85.

Passo 6

Calculo a soma inferior L. Uso as extremidades direitas 2{,}5,3,3{,}5,4,4{,}5,5,5{,}5,6 (na prática os 8 valores à direita):
L=\Delta x\cdot\big(f(2{,}5)+f(3)+\cdots+f(6)\big).
Somando:
\begin{aligned} \text{soma dos }f(x_i)&=4{,}375+4{,}1+3{,}775+3{,}4+2{,}975+2{,}5+1{,}975+1{,}4\\\ &=24{,}5. \end{aligned}
Multiplico por \Delta x=0{,}5:
L=0{,}5\cdot 24{,}5=12{,}25.

Passo 7

Resolução analítica (exata) da integral. Encontro uma primitiva F(x) de f(x):
f(x)=5-\frac{x^{2}}{10}.
Integro termo a termo:
\int 5\,dx=5x,\qquad \int \frac{x^{2}}{10}\,dx=\frac{1}{10}\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{30}.
Logo uma primitiva é
F(x)=5x-\frac{x^{3}}{30}.
A integral definida é F(6)-F(2). Calculo exatamente:
F(6)=5\cdot 6-\frac{6^{3}}{30}=30-\frac{216}{30}=30-\frac{36}{5}=\frac{114}{5},
F(2)=5\cdot 2-\frac{2^{3}}{30}=10-\frac{8}{30}=10-\frac{4}{15}=\frac{146}{15}.
Subtraindo (passando ambos para denominador 15):
\int_{2}^{6}\left(5-\frac{x^{2}}{10}\right)\,dx=\frac{114}{5}-\frac{146}{15}=\frac{342-146}{15}=\frac{196}{15}.
Em decimal isso é
\frac{196}{15}=13{,}0666\ldots =13{,}066\overline{6}.

Passo 8

Comparação e comentários finais (didáticos e práticos): \n
  • Temos L=12{,}25 e U=13{,}85, e a integral exata =\dfrac{196}{15}\approx 13{,}066\ldots. Observação: L\le \text{integral}\le U, como esperado. \n
  • A razão disso: com \Delta x=0{,}5 a aproximação ainda é grosseira; a diferença entre U e L é
U-L=13{,}85-12{,}25=1{,}6,
que é relativamente grande. Conforme reduzirmos \Delta x (partição mais fina), as somas superior e inferior se aproximariam e convergiriam para o valor exato \dfrac{196}{15}. \n
  • Interpretação prática: a soma superior (usar pontos à esquerda para função decrescente) superestima a área; a soma inferior subestima. A integral real fica entre elas. \n
  • Se precisássemos de uma aproximação numérica melhor sem calcular a integral exata, poderíamos usar a soma de pontos médios ou aumentar o número de subintervalos; esses métodos costumam dar erro menor para a mesma n.

Resposta

S_{\text{inferior}}=12{,}25 \n
S_{\text{superior}}=13{,}85 \n
\displaystyle \int_{2}^{6}\left(5-\frac{x^{2}}{10}\right)\,dx=\frac{196}{15}\approx 13{,}066\ldots

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