Using the Cauchy theorem, Cauchy integral formula, or their consequences, evaluate the following integrals, all taken around the circle |z|=2 :
\oint \frac{\sin z}{z^{2}} d z,

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno ao longo do círculo |z|=2 da função \dfrac{\sin z}{z^{2}}, isto é:
\oint_{|z|=2} \frac{\sin z}{z^{2}}\,dz.
Informações relevantes dadas:
  • O contorno é o círculo |z|=2, que assumimos orientado positivamente (sentido anti-horário).
  • A função integranda \dfrac{\sin z}{z^{2}} é holomorfa em todo o disco |z|<2 exceto possivelmente em z=0, onde existe uma singularidade (polo de ordem até 2).
  • A tarefa é avaliar a integral usando o Teorema de Cauchy, a Fórmula Integral de Cauchy ou consequências (por exemplo, a versão para derivadas ou o cálculo de resíduos).

Passo 2

Apresento a ferramenta que vamos usar (uma consequência da Fórmula Integral de Cauchy), e explico o porquê de cada termo:
A fórmula para derivadas de Cauchy diz o seguinte: se f é holomorfa em um disco que contém a curva simples fechada C e o ponto a está no interior de C, então, para todo inteiro n\ge 0,
\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz=\frac{2\pi i}{n!}\,f^{(n)}(a).
Explicação didática:
  • f é a função holomorfa (sem singularidades) dentro e sobre a curva C.
  • a é o ponto interior ao contorno onde está o pólo do tipo (z-a)^{-(n+1)}.
  • n é um inteiro não-negativo; quando n=0 recuperamos a fórmula usual de Cauchy.
  • f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em a.
    Intuição: a integral captura a informação das derivadas de f em a quando o integrando tem uma potência de (z-a) no denominador.

Passo 3

Identificamos os termos do problema com a fórmula acima:
  • Tome f(z)=\sin z, que é inteira (holomorfa em toda parte).
  • O ponto singular é a=0.
  • O denominador é (z-0)^{2}, portanto n+1=2 e assim n=1.
    Pela fórmula de Cauchy para derivadas:
\oint_{|z|=2}\frac{\sin z}{z^{2}}\,dz=\frac{2\pi i}{1!}\,f^{(1)}(0)=2\pi i\,f'(0).
Agora calculamos f'(z) e avaliamos em 0: como f(z)=\sin z, temos f'(z)=\cos z e portanto f'(0)=\cos 0=1. Logo
\oint_{|z|=2}\frac{\sin z}{z^{2}}\,dz=2\pi i\cdot 1=2\pi i.

Passo 4

Para fixar a ideia, apresento uma verificação alternativa usando série de Laurent / resíduo (mesmo resultado, jeito diferente):
Expandimos \sin z em série de Taylor em torno de 0:
\sin z=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Dividindo por z^{2} obtemos a série de Laurent:
\frac{\sin z}{z^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{z^{2k-1}}{(2k+1)!}.
O termo que contribui para a integral é o termo em 1/z (coeficiente de z^{-1}), porque
\oint_{|z|=2} \frac{a_{-1}}{z}\,dz = 2\pi i\,a_{-1}.
No somatório acima o expoente 2k-1 vale -1 quando k=0, e o coeficiente correspondente é
(-1)^0\frac{1}{1!}=1.
Portanto o resíduo em 0 é 1 e a integral vale 2\pi i\cdot 1=2\pi i, confirmando o resultado.

Passo 5

Comentário final e um exemplo extra curto para treinar: a técnica usada é padrão — quando temos \dfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} com f holomorfa, aplicamos a fórmula de Cauchy para derivadas. Exemplo similar rápido:
\oint_{|z|=2}\frac{e^{z}}{z^{2}}\,dz=\frac{2\pi i}{1!}\,(e^{z})'\big|_{z=0}=2\pi i\,e^{0}=2\pi i.
Força aí — com essa técnica você resolve muita integral de contorno parecida na prova!

Resposta

\;2\pi i\;

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