Using the Cauchy theorem, Cauchy integral formula, or their consequences, evaluate the following integrals, all taken around the circle
:
,
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno ao longo do círculo
da função
, isto é:
Informações relevantes dadas:
- O contorno é o círculo
, que assumimos orientado positivamente (sentido anti-horário). - A função integranda
é holomorfa em todo o disco exceto possivelmente em , onde existe uma singularidade (polo de ordem até 2). - A tarefa é avaliar a integral usando o Teorema de Cauchy, a Fórmula Integral de Cauchy ou consequências (por exemplo, a versão para derivadas ou o cálculo de resíduos).
Passo 2
Apresento a ferramenta que vamos usar (uma consequência da Fórmula Integral de Cauchy), e explico o porquê de cada termo:
A fórmula para derivadas de Cauchy diz o seguinte: se é holomorfa em um disco que contém a curva simples fechada
e o ponto
está no interior de
, então, para todo inteiro
,
A fórmula para derivadas de Cauchy diz o seguinte: se
Explicação didática:
-
é a função holomorfa (sem singularidades) dentro e sobre a curva . -
é o ponto interior ao contorno onde está o pólo do tipo . -
é um inteiro não-negativo; quando recuperamos a fórmula usual de Cauchy. -
é a -ésima derivada de avaliada em .
Intuição: a integral captura a informação das derivadas deem quando o integrando tem uma potência de no denominador.
Passo 3
Identificamos os termos do problema com a fórmula acima:
- Tome
, que é inteira (holomorfa em toda parte). - O ponto singular é
. - O denominador é
, portanto e assim .
Pela fórmula de Cauchy para derivadas:
Agora calculamos
e avaliamos em
: como
, temos
e portanto
. Logo
Passo 4
Para fixar a ideia, apresento uma verificação alternativa usando série de Laurent / resíduo (mesmo resultado, jeito diferente):
Expandimos em série de Taylor em torno de
:
Expandimos
Dividindo por
obtemos a série de Laurent:
O termo que contribui para a integral é o termo em
(coeficiente de
), porque
No somatório acima o expoente
vale
quando
, e o coeficiente correspondente é
Portanto o resíduo em
é
e a integral vale
, confirmando o resultado.
Passo 5
Comentário final e um exemplo extra curto para treinar: a técnica usada é padrão — quando temos
com
holomorfa, aplicamos a fórmula de Cauchy para derivadas. Exemplo similar rápido:
Força aí — com essa técnica você resolve muita integral de contorno parecida na prova!