Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+n 4^{2 n}}{n 5^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando o teste de comparação, se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+n4^{2n}}{n5^{n}}
é convergente ou divergente. Informações dadas importantes: o somatório é para n=1 até \infty e o termo geral é \dfrac{1+n4^{2n}}{n5^{n}}.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral para ficar mais claro. Note que 4^{2n}=(4^2)^n=16^n. Substituindo,
\frac{1+n4^{2n}}{n5^{n}}=\frac{1+n16^{n}}{n5^{n}}.
Agora separamos a fração em duas parcelas:
\frac{1+n16^{n}}{n5^{n}}=\frac{1}{n5^{n}}+\frac{n16^{n}}{n5^{n}}=\frac{1}{n5^{n}}+\left(\frac{16}{5}\right)^{n}.
Chamemos o termo geral de
a_n=\frac{1}{n5^{n}}+\left(\frac{16}{5}\right)^{n}.

Passo 3

Observação importante (regra rápida para provas): para aplicar o teste de comparação precisamos de termos não-negativos. Aqui ambos os termos \dfrac{1}{n5^{n}} e \left(\dfrac{16}{5}\right)^{n} são positivos para todo n, logo a_n>0 e podemos usar comparação entre séries de termos positivos.

Passo 4

Escolhemos comparar com a sequência simples
b_n=\left(\frac{16}{5}\right)^{n}.
Note que, para todo n,
a_n=\frac{1}{n5^{n}}+\left(\frac{16}{5}\right)^{n}\ge \left(\frac{16}{5}\right)^{n}=b_n,
pois \dfrac{1}{n5^{n}}>0.

Passo 5

Analisamos a série \sum b_n=\sum \left(\dfrac{16}{5}\right)^{n}. Esta é uma série geométrica com razão
r=\frac{16}{5}.
Lembrando o fato sobre séries geométricas: a série \sum r^{n} converge somente se |r|<1; se |r|\ge 1 ela diverge. Aqui |r|=\dfrac{16}{5}>1, portanto a série \sum b_n diverge. Mais diretamente, os termos b_n=\left(\dfrac{16}{5}\right)^n não tendem a zero (na verdade tendem a +\infty), e uma série cuja sequência de termos não tende a zero não pode convergir.

Passo 6

Aplicando o teste de comparação: como a_n\ge b_n para todo n e \sum b_n diverge, então \sum a_n também diverge.

Resposta

Divergente

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