Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando o teste de comparação, se a série
é convergente ou divergente. Informações dadas importantes: o somatório é para
até
e o termo geral é
.
Passo 2
Vamos simplificar o termo geral para ficar mais claro. Note que
. Substituindo,
Agora separamos a fração em duas parcelas:
Chamemos o termo geral de
Passo 3
Observação importante (regra rápida para provas): para aplicar o teste de comparação precisamos de termos não-negativos. Aqui ambos os termos
e
são positivos para todo
, logo
e podemos usar comparação entre séries de termos positivos.
Passo 4
Escolhemos comparar com a sequência simples
Note que, para todo
,
pois
.
Passo 5
Analisamos a série
. Esta é uma série geométrica com razão
Lembrando o fato sobre séries geométricas: a série
converge somente se
; se
ela diverge. Aqui
, portanto a série
diverge. Mais diretamente, os termos
não tendem a zero (na verdade tendem a
), e uma série cuja sequência de termos não tende a zero não pode convergir.
Passo 6
Aplicando o teste de comparação: como
para todo
e
diverge, então
também diverge.
Resposta
Divergente