Calcule a integral de linha por dois métodos:
(a) diretamente
consiste no arco da parábola
de
a
e os segmentos de reta de
a
e de
a
.
(a) diretamente
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral de linha
onde
é a curva fechada que vai:
- pelo arco da parábola
de a , - pelo segmento de reta de
a , - pelo segmento de reta de
a .
Vamos fazer isso de duas maneiras: primeiro diretamente parametrizando cada trecho; depois aplicando o Teorema de Green.
Passo 2
Método direto: dividimos
em três partes
,
,
.
Trecho
(parábola
,
)
Então
Trecho
(reta de
a
,
)
Logo
Trecho
(reta de
a
)
imediatamente dá
Somando os três resultados:
Passo 3
Método via Teorema de Green: o campo é
e a região
é aquele domínio fechado por
. Então
Em coordenadas
,
, temos
Pelo Teorema de Green esse valor é igual à integral de linha pedida.