Calcule a integral de linha por dois métodos:
(a) diretamente
ointC x^2 y^2 d x+x y d y, C consiste no arco da parábola y=x^2 de (0,0) a (1,1) e os segmentos de reta de (1,1) a (0,1) e de (0,1) a (0,0).

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral de linha
ointC x^2y^2,dx ;+; x,y,dy
onde C é a curva fechada que vai:
  1. pelo arco da parábola y = x^2 de (0,0) a (1,1),
  2. pelo segmento de reta de (1,1) a (0,1),
  3. pelo segmento de reta de (0,1) a (0,0).
    Vamos fazer isso de duas maneiras: primeiro diretamente parametrizando cada trecho; depois aplicando o Teorema de Green.

Passo 2

Método direto: dividimos C em três partes C1, C2, C3.
Trecho C1 (parábola y=x^2, 0<= t<=1)
x=t, y=t^2, dx=dt, dy=2t,dt
Então
integralC1x^2y^2,dx + x,y,dy =integral0^1l(t^2cdot t^4r),dt ;+;integral0^1l(tcdot t^2r),2t,dt =integral0^1(t^6+2t^4),dt =[t^77+2t^55]0^1 =17+25 =1935
Trecho C2 (reta de (1,1) a (0,1), 0<= s<=1)
x=1-s, y=1, dx=-ds, dy=0
Logo
integralC2x^2y^2,dx + x,y,dy =integral0^1(1-s)^2,(-ds) =-integral0^1(1-2s+s^2),ds =-l[s - s^2 + tfracs^33r]0^1 =-13
Trecho C3 (reta de (0,1) a (0,0))
x=0, y=1-u, dy=-du, dx=0
imediatamente dá
integralC3x^2y^2,dx + x,y,dy =0
Somando os três resultados:
ointCx^2y^2,dx + x,y,dy =1935-13 =19cdot3 - 35105 =57-35105 =22105

Passo 3

Método via Teorema de Green: o campo é l(P,Qr)=(x^2y^2,,xy) e a região R é aquele domínio fechado por C. Então
partial Qpartial x-partial Ppartial y =y ;-;2x^2y =yl(1-2x^2r)
Em coordenadas 0<= y<=1, 0<= x<=raiz y, temos
integral duplaRl(y-2x^2yr),dA =integraly=0^1!integralx=0^raiz yyl(1-2x^2r),dx,dy =integral0^1l(y^3/2-tfrac23y^5/2r),dy =25-421 =22105
Pelo Teorema de Green esse valor é igual à integral de linha pedida.

Resposta

22105

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