Encontre todos os valores de x tais que sen 2 x=sen x e 0 <= x <= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os x em [0,2pi] tais que
sin(2x)=sin x
O conteúdo envolvido é identidades trigonométricas, em especial a fórmula do ângulo duplo, e depois resolução de equações trigonométricas básicas.

Passo 2

Usamos a identidade do ângulo duplo:
sin(2x)=2sin xcos x
Substituindo na equação original:
2sin xcos x = sin x

Passo 3

Colocamos todos os termos de um lado e fatoramos:
2sin xcos x - sin x = 0 Longrightarrow sin x,(2cos x - 1)=0
Assim, a equação se resolve em duas possibilidades:
sin x = 0 ou 2cos x - 1 = 0

Passo 4

Resolvendo sin x = 0 em [0,2pi], temos
x = 0, pi, 2pi

Passo 5

Resolvendo 2cos x - 1 = 0, ou seja cos x = tfrac12, em [0,2pi], obtemos
x = pi3 ou x = 5pi3

Resposta

Os valores de x que satisfazem sin(2x)=sin x em [0,2pi] são
x = 0, pi3, pi, 5pi3, 2pi

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