Calcule integral-infty^infty cos ^2 xx^2+4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
I = integral-infty^infty cos^2xx^2+4,dx
O conteúdo envolvido é cálculo de integrais impróprias de funções pares e uso de identidades trigonométricas para decompor o integrando em termos cujas integrais conhecemos.

Passo 2

Usamos a identidade
cos^2x = 1+cos(2x)2,
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I = integral-infty^infty cos^2xx^2+4,dx = 12 integral-infty^inftydxx^2+4 + 12 integral-infty^inftycos(2x)x^2+4,dx

Passo 3

Calculamos a primeira parte usando
integral-infty^inftydxx^2+a^2 = pia
Aqui a=2, então
integral-infty^inftydxx^2+4 = pi2,
e multiplicando por tfrac12
12integral-infty^inftydxx^2+4 = pi4

Passo 4

Para a segunda parte usamos a fórmula de transformada de Fourier real
integral-infty^inftycos(bx)x^2+a^2,dx = pia,e^-a|b|
Tomando a=2 e b=2, obtemos
integral-infty^inftycos(2x)x^2+4,dx = pi2,e^-4,
e multiplicando por tfrac12
12integral-infty^inftycos(2x)x^2+4,dx = pi4,e^-4

Resposta

integral-infty^infty cos^2xx^2+4,dx = pi4l(1 + e^-4r)

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