Sendo v=\frac{d x}{d t} determine a relação entre v e x.
\ddot{x}+4 x=0

Passo 1

O enunciado dá a definição \;v=\frac{d x}{d t}\; e a equação diferencial
\ddot{x}+4x=0.
O que se pede: determinar uma relação entre v e x (isto é, eliminar t e obter uma equação que ligue v e x). Informações relevantes: \ddot{x}=\dfrac{d^2 x}{d t^2} e v é a derivada de x em relação a t.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): uma técnica muito útil para relacionar v e x quando temos uma equação do tipo \ddot{x}+ \text{(função de }x)=0çã é multiplicar a equação por \dot{x} (que é v) e integrar em relação a t. Por quê? Porque \dot{x}\ddot{x} é a derivada temporal de \tfrac{1}{2}\dot{x}^2 (regra da cadeia), e x\dot{x} é a derivada temporal de \tfrac{1}{2}x^2. Assim podemos obter uma quantia conservada (uma constante), que dá diretamente uma relação entre \dot{x} e x.

Passo 3

Aplicando a ideia: multiplico a equação \ddot{x}+4x=0 por \dot{x}. Escrevo isso explicitamente:
\dot{x}\,\ddot{x}+4x\,\dot{x}=0.
Agora uso as identidades de derivada:
\dot{x}\,\ddot{x}=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}\dot{x}^2\right) \qquad\text{e}\qquad x\,\dot{x}=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}x^2\right).
Essas identidades vêm da regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}\big(\tfrac{1}{2}\dot{x}^2\big)=\dot{x}\ddot{x} e \dfrac{d}{dt}\big(\tfrac{1}{2}x^2\big)=x\dot{x}. Aqui \dot{x} é v.

Passo 4

Substituindo as identidades na igualdade do Passo 3 obtemos uma derivada total:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}\dot{x}^2\right)+4\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}x^2\right)=0.
Fatorando a derivada total:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}\dot{x}^2+4\cdot\frac{1}{2}x^2\right)=0.
Ou mais simples,
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}\dot{x}^2+2x^2\right)=0.

Passo 5

Como a derivada temporal dessa expressão é zero, a expressão é constante no tempo. Chamo essa constante de C:
\frac{1}{2}\dot{x}^2+2x^2=C.
Multiplicando por 2 e recordando que \dot{x}=v, temos a relação pedida:
v^2+4x^2=\underbrace{2C}_{\text{constante}}.
Para ficar mais direto, escrevo
v^2+4x^2=K,
onde K é uma constante determinada pelas condições iniciais.

Passo 6

Interpretação e como determinar a constante a partir de condições iniciais: se soubermos x(0)=x_0 e v(0)=v_0, então substituímos na relação e obtemos
K=v_0^2+4x_0^2.
Portanto, a relação explícita usando condições iniciais é
v^2+4x^2=v_0^2+4x_0^2,
ou isolando v,
v=\pm\sqrt{v_0^2+4x_0^2-4x^2}.
Isso significa que o conjunto de pares (x,v) está sobre uma elipse no plano de fase.

Passo 7

(Verificação alternativa — útil para entender melhor) Se resolvermos a equação diferencial de forma explícita, a solução geral é
x(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t).
Derivando,
v(t)=\dot{x}(t)=-2A\sin(2t)+2B\cos(2t).
Calculando v^2+4x^2 usando essas expressões e simplificando (usar \sin^2+\cos^2=1 e termos mistos que se cancelam), obtemos
v^2+4x^2=4(A^2+B^2)=\text{constante},
o que coincide com a relação obtida anteriormente. Se A e B vierem das condições iniciais, a constante fica igual a v_0^2+4x_0^2.

Resposta

v^2+4x^2=K, onde K é constante.\n
v=\pm\sqrt{K-4x^2}, com K=v(0)^2+4x(0)^2.

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