Sendo v=\frac{d x}{d t} determine a relação entre v e x. \ddot{x}+4 x=0
Passo 1
O enunciado dá a definição \;v=\frac{d x}{d t}\; e a equação diferencial
\ddot{x}+4x=0.
O que se pede: determinar uma relação entre v e x (isto é, eliminar t e obter uma equação que ligue v e x). Informações relevantes: \ddot{x}=\dfrac{d^2 x}{d t^2} e v é a derivada de x em relação a t.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): uma técnica muito útil para relacionar v e x quando temos uma equação do tipo \ddot{x}+ \text{(função de }x)=0 é multiplicar a equação por \dot{x} (que é v) e integrar em relação a t. Por quê? Porque \dot{x}\ddot{x} é a derivada temporal de \tfrac{1}{2}\dot{x}^2 (regra da cadeia), e x\dot{x} é a derivada temporal de \tfrac{1}{2}x^2. Assim podemos obter uma quantia conservada (uma constante), que dá diretamente uma relação entre \dot{x} e x.
Passo 3
Aplicando a ideia: multiplico a equação \ddot{x}+4x=0 por \dot{x}. Escrevo isso explicitamente:
Essas identidades vêm da regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}\big(\tfrac{1}{2}\dot{x}^2\big)=\dot{x}\ddot{x} e \dfrac{d}{dt}\big(\tfrac{1}{2}x^2\big)=x\dot{x}. Aqui \dot{x} é v.
Passo 4
Substituindo as identidades na igualdade do Passo 3 obtemos uma derivada total: