3.1-1 (TIMOSHENKO) Determinar o comprimento de um eixo de aço (
) de diâmetro
, se a tensão de cisalhamento máxima for
quando o ângulo de torção tiver
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o comprimento do eixo, e nos dá os seguintes dados:
O que se pede: calcular o comprimento
do eixo para que, quando a extremidade sofra um ângulo de torção de
, a tensão de cisalhamento máxima seja
.
Observação: estou usando os valores numéricos fornecidos no enunciado (e na figura) para resolver o problema.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho):
- Para um eixo circular maciço submetido a torque
, a tensão de cisalhamento máxima na superfície (raio externo ) é dada por
onde
-
é a tensão de cisalhamento máxima (Pa), -
é o torque (N·m), -
é o raio externo do eixo (m), -
é o momento polar de inércia da seção (m^4). -
Para uma seção circular maciça de diâmetro
(raio ), o momento polar de inércia é
Explicação rápida:
mede “quão resistente” a seção é à torção; cresce com a quarta potência do diâmetro.
- O ângulo de torção (em radianos) ao longo de comprimento
é dado pela relação da elasticidade em torção:
onde
-
é o ângulo de torção em radianos, -
é o módulo de cisalhamento (Pa), -
é o comprimento do eixo (m).
Nossa estratégia: usar as duas fórmulas acima para eliminar
e obter
em função de
,
,
e
.
Passo 3
Isolamos
da primeira equação (
):
Substituímos esse
na relação do ângulo de torção
:
Note que
cancela:
Agora isolamos
:
Esta fórmula é muito prática: o comprimento necessário é proporcional ao ângulo (em radianos), ao módulo de cisalhamento e ao raio, e inversamente proporcional à tensão admissível.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos, convertendo unidades e o ângulo para radianos:
- raio
. -
. -
. -
.
Usando a fórmula
temos
Passo 5
Cálculo passo a passo (com unidades):
Arredondando adequadamente, podemos dizer
, que em milímetros é
.
Passo 6
Interpretação final rápida (estímulo): o eixo precisa ser relativamente longo (≈2,3 m) para que um torque que produza
resulte num ângulo de
. Se você quiser um ângulo menor para o mesmo
, teria de reduzir o comprimento; se quiser um eixo mais curto mantendo o mesmo ângulo, teria de aumentar o raio ou usar material com maior
.