3.1-1 (TIMOSHENKO) Determinar o comprimento de um eixo de aço ( \mathrm{G}=84 \mathrm{GPa} ) de diâmetro \mathrm{d}=50 \mathrm{~mm}, se a tensão de cisalhamento máxima for 94,5 \mathrm{MPa} quando o ângulo de torção tiver 6^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o comprimento do eixo, e nos dá os seguintes dados:
G=84\\ \mathrm{GPa},\qquad d=50\\ \mathrm{mm},\qquad \tau_{\max}=94{,}5\\ \mathrm{MPa},\qquad \varphi=6^\circ.
O que se pede: calcular o comprimento L do eixo para que, quando a extremidade sofra um ângulo de torção de \varphi=6^\circ, a tensão de cisalhamento máxima seja \tau_{\max}=94{,}5\\ \mathrm{MPa}.
Observação: estou usando os valores numéricos fornecidos no enunciado (e na figura) para resolver o problema.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Para um eixo circular maciço submetido a torque T, a tensão de cisalhamento máxima na superfície (raio externo c) é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima (Pa),
  • T é o torque (N·m),
  • c é o raio externo do eixo (m),
  • J é o momento polar de inércia da seção (m^4).
  • Para uma seção circular maciça de diâmetro d (raio r=c=d/2), o momento polar de inércia é
J=\frac{\pi d^4}{32}=\frac{\pi}{2}r^4.
Explicação rápida: J mede “quão resistente” a seção é à torção; cresce com a quarta potência do diâmetro.
  • O ângulo de torção (em radianos) ao longo de comprimento L é dado pela relação da elasticidade em torção:
\varphi=\frac{T\,L}{G\,J},
onde
  • \varphi é o ângulo de torção em radianos,
  • G é o módulo de cisalhamento (Pa),
  • L é o comprimento do eixo (m).
Nossa estratégia: usar as duas fórmulas acima para eliminar T e obter L em função de \varphi, G, c e \tau_{\max}.

Passo 3

Isolamos T da primeira equação ( \tau_{\max}=\dfrac{T c}{J}):
T=\frac{\tau_{\max} J}{c}.
Substituímos esse T na relação do ângulo de torção \left(\varphi=\dfrac{T L}{G J}\right):
\varphi=\frac{(\tau_{\max} J / c)\,L}{G J}.
Note que J cancela:
\varphi=\frac{\tau_{\max}\,L}{G\,c}.
Agora isolamos L:
L=\frac{\varphi\,G\,c}{\tau_{\max}}.
Esta fórmula é muito prática: o comprimento necessário é proporcional ao ângulo (em radianos), ao módulo de cisalhamento e ao raio, e inversamente proporcional à tensão admissível.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos, convertendo unidades e o ângulo para radianos:
  • raio c=r=\dfrac{d}{2}=\dfrac{50\\ \mathrm{mm}}{2}=25\\ \mathrm{mm}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
  • G=84\\ \mathrm{GPa}=84\times10^9\\ \mathrm{Pa}.
  • \tau_{\max}=94{,}5\\ \mathrm{MPa}=94{,}5\times10^6\\ \mathrm{Pa}.
  • \varphi=6^\circ=\dfrac{6\pi}{180}=\dfrac{\pi}{30}\\ \mathrm{rad}\approx0{,}104719755\,\mathrm{rad}.
Usando a fórmula
L=\frac{\varphi\,G\,c}{\tau_{\max}},
temos

Passo 5

Cálculo passo a passo (com unidades):
G\,c=(84\times10^{9})\times0{,}025=2{,}1\times10^{9}\\ \mathrm{Pa\cdot m}.
\varphi\,(G\,c)=0{,}104719755\times2{,}1\times10^{9}=2{,}199114855\times10^{8}.
L=\frac{2{,}199114855\times10^{8}}{94{,}5\times10^{6}} \\ \mathrm{m} = \frac{219{,}911{,}485{,}5}{94{,}500{,}000}\\ \mathrm{m}\approx2{,}328\\ \mathrm{m}.
Arredondando adequadamente, podemos dizer L\approx2{,}33\\ \mathrm{m}, que em milímetros é L\approx2328\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Interpretação final rápida (estímulo): o eixo precisa ser relativamente longo (≈2,3 m) para que um torque que produza \tau_{\max}=94{,}5\\ \mathrm{MPa} resulte num ângulo de 6^\circ. Se você quiser um ângulo menor para o mesmo \tau_{\max}, teria de reduzir o comprimento; se quiser um eixo mais curto mantendo o mesmo ângulo, teria de aumentar o raio ou usar material com maior G.

Resposta

L\approx2{,}33\\ \mathrm{m}
L\approx2328\\ \mathrm{mm}

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