Seja G um grupo qualquer e g in G um elemento fixo. Definamos varphi: G G por varphi(x)=gxg^-1. Mostre que varphi é um isomorfismo de G em G.

Passo 1

Nesse exercício, temos um grupo G qualquer e um elemento fixo gin G. Definimos a aplicação varphi: Gto G por varphi(x)=g,x,g^-1. O conteúdo aqui é teoria de homomorfismos de grupos e isomorfismos; vamos precisar mostrar que varphi preserva a operação do grupo (é homomorfismo) e é bijetiva.

Passo 2

Para ver que varphi é homomorfismo, tomamos x,yin G e calculamos:
varphi(xy)=g,(xy),g^-1=l(gxr)l(yg^-1r)=l(gxg^-1r)l(gyg^-1r)=varphi(x),varphi(y)
Aqui usamos associatividade em G para agrupar corretamente os fatores.

Passo 3

Agora, para mostrar que varphi é bijetiva, basta encontrar sua inversa explícita. Defina psi: Gto G por psi(x)=g^-1xg. Então para todo xin G:
(psicircvarphi)(x)=psil(gxg^-1r)=g^-1(gxg^-1)g=x,
(varphicircpsi)(x)=varphi(g^-1xg)=g(g^-1xg)g^-1=x
Portanto psi=varphi^-1, o que garante que varphi é injetora e sobrejetora.

Passo 4

Como varphi é homomorfismo e bijetiva, concluímos que é um isomorfismo de G em G.

Resposta

A aplicação varphi(x)=g,x,g^-1 é um isomorfismo de G em G, com inversa varphi^-1(x)=g^-1xg.

Exercícios relacionados