Seja
um grupo qualquer e
um elemento fixo. Definamos
por
. Mostre que
é um isomorfismo de
em
.
Passo 1
Nesse exercício, temos um grupo
qualquer e um elemento fixo
. Definimos a aplicação
por
. O conteúdo aqui é teoria de homomorfismos de grupos e isomorfismos; vamos precisar mostrar que
preserva a operação do grupo (é homomorfismo) e é bijetiva.
Passo 2
Para ver que
é homomorfismo, tomamos
e calculamos:
Aqui usamos associatividade em
para agrupar corretamente os fatores.
Passo 3
Agora, para mostrar que
é bijetiva, basta encontrar sua inversa explícita. Defina
por
. Então para todo
:
Portanto
, o que garante que
é injetora e sobrejetora.
Passo 4
Como
é homomorfismo e bijetiva, concluímos que é um isomorfismo de
em
.
Resposta
A aplicação
é um isomorfismo de
em
, com inversa
.