Mostre que Z4 e o grupo 1, i,-1,-i subset C^* são isomorfos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que o grupo $ \mathbb{Z}_{4} $ e o grupo $ {1, i, -1, -i} \subset \mathbb{C}^{*} $ são isomorfos. Isso está relacionado ao estudo de isomorfismos de grupos na matéria de álgebra. Para resolver, precisamos entender o que é um isomorfismo e como construir uma função que mostre essa correspondência entre os dois grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é $ \mathbb{Z}{4} $. Esse é o conjunto dos inteiros módulo 4, ou seja, $ \mathbb{Z}{4} = {0, 1, 2, 3} $ com a operação de adição módulo 4.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o grupo $ {1, i, -1, -i} $ dentro dos números complexos $ \mathbb{C}^{*} $. Aqui, a operação é a multiplicação de números complexos. Esse conjunto representa as raízes de unidade de quarta ordem, já que $ i^4 = 1 $.

Passo 4

Para mostrar que os dois grupos são isomorfos, precisamos encontrar uma função bijetora $ \phi: \mathbb{Z}_{4} \to {1, i, -1, -i} $ que preserve a operação do grupo. Isso significa que:
phi: Z4 to 1, i, -1, -i

Passo 5

Vamos definir a função $ \phi $ da seguinte forma:
phi

Passo 6

Vamos verificar se $ \phi $ é um isomorfismo:
  • Injetora: Cada elemento de $ \mathbb{Z}_{4} $ mapeia para um elemento distinto em $ {1, i, -1, -i} $.
  • Sobrejetora: Todo elemento em $ {1, i, -1, -i} $ é atingido por algum elemento de $ \mathbb{Z}_{4} $.
  • Preserva a operação: Por exemplo, $ \phi(1 + 1) = \phi(2) = -1 $ e $ \phi(1) \cdot \phi(1) = i \cdot i = -1 $. Isso vale para todas as combinações.

Resposta

Portanto, $ \mathbb{Z}_{4} $ e $ {1, i, -1, -i} \subset \mathbb{C}^{*} $ são isomorfos através da função $ \phi $ definida acima.

Exercícios relacionados