Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e
(b) utilizando o Teorema de Green.
integralC y^3 d x-x^3 d y, C é o círculo x^2+y^2=4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC y^3,dx - x^3,dy sobre o círculo x^2+y^2=4. Vamos usar dois métodos: (i) parametrização direta do círculo; (ii) Teorema de Green. Precisamos lembrar da orientação positiva (contrário ao relógio) e das expressões de dx,dy via parâmetro.

Passo 2

Parametrizamos o círculo de raio 2 de forma padrão:
x=2cos t, y=2sin t, tin[0,2pi],
dx=-2sin t,dt, dy=2cos t,dt

Passo 3

Substituímos na integranda:
y^3,dx - x^3,dy = (2sin t)^3(-2sin t,dt) - (2cos t)^3(2cos t,dt) = -16l(sin^4t + cos^4tr),dt

Passo 4

Assim a integral fica
integral0^2pi -16l(sin^4t + cos^4tr),dt = -16integral0^2pil(sin^4t + cos^4tr),dt

Passo 5

Usamos a identidade
sin^4t + cos^4t = (sin^2t+cos^2t)^2 - 2sin^2tcos^2t = 1 - tfrac12sin^2(2t)

Passo 6

E ainda
sin^2(2t)=tfrac12l(1-cos4tr)implies sin^4t+cos^4t = tfrac34 + tfrac14cos4t

Passo 7

Logo
integral0^2pi(sin^4t+cos^4t),dt = integral0^2pitfrac34,dt + tfrac14integral0^2picos4t,dt = tfrac34cdot2pi + 0 = tfrac3pi2

Passo 8

Portanto a integral direta é
-16 cdot tfrac3pi2 = -24pi

Passo 9

Agora pelo Teorema de Green temos P=y^3 e Q=-x^3. Então
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -3x^2 - 3y^2 = -3(x^2+y^2)

Passo 10

A região D é o disco de raio 2, em coordenadas polares x^2+y^2=r^2, dA=r,dr,dtheta. Logo
integral duplaD -3r^2,dA = -3integral0^2piintegral0^2 r^2cdot r,dr,dtheta = -3cdot2piintegral0^2 r^3,dr = -6pi [r^44]0^2 = -6picdot4 = -24pi

Passo 11

Ambos os métodos coincidem no valor.

Resposta

-24\pi

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