Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e
(b) utilizando o Teorema de Green.
é o círculo
(b) utilizando o Teorema de Green.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
sobre o círculo
. Vamos usar dois métodos: (i) parametrização direta do círculo; (ii) Teorema de Green. Precisamos lembrar da orientação positiva (contrário ao relógio) e das expressões de
via parâmetro.
Passo 2
Parametrizamos o círculo de raio 2 de forma padrão:
Passo 3
Substituímos na integranda:
Passo 4
Assim a integral fica
Passo 5
Usamos a identidade
Passo 6
E ainda
Passo 7
Logo
Passo 8
Portanto a integral direta é
Passo 9
Agora pelo Teorema de Green temos
e
. Então
Passo 10
A região
é o disco de raio 2, em coordenadas polares
,
. Logo
Passo 11
Ambos os métodos coincidem no valor.
Resposta
-24\pi