Determine a expansão em série de Taylor de cada uma das seguintes funções:
f(x)=1+3 sen^2 x

Passo 1

Queremos a expansão de Taylor (Maclaurin) de f(x)=1+3sin^2 x em torno de x=0. Vamos usar uma identidade trigonométrica para sin^2 x e a série de Taylor para cos x.

Passo 2

Usando a identidade
sin^2 x = 1-cos(2x)2,
temos
f(x) = 1 + 3sin^2 x = 1 + 32(1-cos(2x)) = 52 - 32cos(2x)

Passo 3

A série de Taylor de cos u em torno de u=0 é
cos u = sumn=0^infty(-1)^nu^2n(2n)!
Substituindo u=2x obtemos
cos(2x) = sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n(2n)!

Passo 4

Multiplicando por -tfrac32 e somando tfrac52, chegamos à forma geral da série e extraímos os primeiros termos:
f(x)=52-32sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n(2n)! =1+3x^2 - x^4 + 215x^6 - cdots

Resposta

f(x)=1+3x^2 - x^4 + 215x^6 - cdots

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