Determine os seguintes limites:
lim x 2^+ x+3x^2-x-2

Passo 1

Resumo do enunciado: temos que calcular o limite lateral de uma função racional quando x se aproxima de 2 pela direita. O conteúdo envolvido é limite lateral e análise de indeterminações (vertical asymptote). Vamos usar fatoração para identificar o comportamento do denominador e determinar o sinal da fração.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador. Observamos que x²−x−2 é um polinômio do 2º grau e procuramos duas raízes que multiplicadas dão −2 e somadas dão −1. Essas raízes são 2 e −1. Logo, podemos escrever:
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)

Passo 3

Agora, reescrevemos a função original usando essa fatoração:
x+3x^2 - x - 2 = x+3(x-2)(x+1)

Passo 4

Como x tende a 2 pela direita (x→2⁺), vamos analisar cada parte: 1) Numerador x+3→2+3=5, ou seja, tende a um valor finito e positivo. 2) Fator (x−2)→0⁺, pois para x>2 ele é pequeno e positivo. 3) Fator (x+1)→3, pois x→2 faz x+1 aproximar-se de 3, valor finito e positivo.
Dado que o numerador tende a +5 (constante >0) e o denominador tende a (0⁺)·(+3)=0⁺, a razão cresce sem limite, mantendo sinal positivo. Concluímos que a função dispara para +∞.
Sendo assim, o limite lateral direito é +∞.

Resposta

+infty

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