Determine a expansão em série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções:
g(x)=sen x

Passo 1

Neste exercício queremos desenvolver a expansão em série de Maclaurin da função g(x)=sin x. O conteúdo envolve séries de Taylor ao redor de zero, e para resolver vamos precisar calcular as derivadas sucessivas de g em x=0 e aplicar a definição de série de Maclaurin.

Passo 2

Começamos listando as derivadas de g(x): g(x)=sin x, g'(x)=cos x, g''(x)=-sin x, g'''(x)=-cos x, e g^(4)(x)=sin x (e assim por diante). Avaliando em x=0 obtemos g(0)=0, g'(0)=1, g''(0)=0, g'''(0)=-1, g^(4)(0)=0, o que indica que só as derivadas de ordem ímpar são não nulas e alternam de sinal.

Passo 3

A série de Maclaurin de uma função f é dada por
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!x^n

Passo 4

Substituindo os valores não nulos de g^(n)(0) apenas nas ordens ímpares, obtemos os primeiros termos:
g(x)=x - x^33! + x^55! - x^77! + cdots

Passo 5

Observando a regularidade desses termos, vemos que o termo geral de ordem 2k+1 é
(-1)^kx^2k+1(2k+1)!,
para k>=0, o que descreve completamente a série de sen x.

Resposta

sumk=0^infty(-1)^kx^2k+1(2k+1)!

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