Determine a expansão em série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
Neste exercício queremos desenvolver a expansão em série de Maclaurin da função
. O conteúdo envolve séries de Taylor ao redor de zero, e para resolver vamos precisar calcular as derivadas sucessivas de
em
e aplicar a definição de série de Maclaurin.
Passo 2
Começamos listando as derivadas de
:
,
,
,
, e
(e assim por diante). Avaliando em
obtemos
,
,
,
,
, o que indica que só as derivadas de ordem ímpar são não nulas e alternam de sinal.
Passo 3
A série de Maclaurin de uma função
é dada por
Passo 4
Substituindo os valores não nulos de
apenas nas ordens ímpares, obtemos os primeiros termos:
Passo 5
Observando a regularidade desses termos, vemos que o termo geral de ordem
é
para
, o que descreve completamente a série de sen x.