Calcule a integral de linha para
sobre
o arco da circunferência de raio 1 e centrada na origem no primeiro quadrante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha para o campo vetorial
sobre
, que é o arco da circunferência de raio 1 centrada na origem, no primeiro quadrante. Isso envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, onde a gente soma as contribuições do campo vetorial ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
é um arco de circunferência de raio 1 no primeiro quadrante, podemos usar coordenadas polares:
Aqui,
varia de
a
para cobrir o primeiro quadrante.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor derivada
, que representa a velocidade da curva em cada ponto:
Passo 4
Vamos substituir a parametrização na função
:
Passo 5
A integral de linha é dada pelo produto escalar de
e
, integrada sobre o intervalo de
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo.
Primeiro, integramos
:
No intervalo de
a
:
Segundo, integramos
usando substituição
, então
:
No intervalo de
a
:
Resposta
Somando as duas partes, a integral de linha é: