Calcule a integral de linha para F(x, y)=(-y, x y) sobre C o arco da circunferência de raio 1 e centrada na origem no primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha para o campo vetorial sobre , que é o arco da circunferência de raio 1 centrada na origem, no primeiro quadrante. Isso envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, onde a gente soma as contribuições do campo vetorial ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x(t) = cos(t) . Como y(t) = sin(t) é um arco de circunferência de raio 1 no primeiro quadrante, podemos usar coordenadas polares:
Aqui, varia de a para cobrir o primeiro quadrante.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor derivada drdt = ( dxdt, dydt ) = ( -sin(t), cos(t) ) , que representa a velocidade da curva em cada ponto:

Passo 4

Vamos substituir a parametrização na função F(x(t), y(t)) = ( -sin(t), cos(t) cdot sin(t) ) :

Passo 5

A integral de linha é dada pelo produto escalar de integralC F cdot dr = integral0^pi2 ( -sin(t) cdot (-sin(t)) + cos(t)sin(t) cdot cos(t) ) dt e integral0^pi2 ( sin^2(t) + cos^2(t)sin(t) ) dt , integrada sobre o intervalo de :
Simplificando:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo.
Primeiro, integramos integral sin^2(t) dt = t2 - sin(2t)4 + C :
[ t2 - sin(2t)4 ]0^pi2 = pi4 - 0 = pi4
No intervalo de integral cos^2(t)sin(t) dt = -integral u^2 du = -u^33 + C = -cos^3(t)3 + C a [ -cos^3(t)3 ]0^pi2 = -0 + 13 = 13 :
Segundo, integramos usando substituição , então :
No intervalo de a :

Resposta

Somando as duas partes, a integral de linha é:
pi4 + 13

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