Valor: 2,0] Determine a área da região delimitada pelo gráfico da função
f(x)=ll x^3+x^2+x, & -1 <= x <= 0 x sen(x), & 0
eixo das abscissas e a reta x=-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um exercício que pede pra determinar a área de uma região delimitada pelo gráfico de uma função, pelo eixo das abscissas (que é o eixo x) e pela reta vertical $ x = -1 $. A função é definida por partes:
x = -1
Vamos usar cálculo integral para encontrar essa área, integrando cada parte da função no seu respectivo intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no intervalo de $ x = -1 $ até $ x = 0 $, onde a função é $ f(x) = x^{3} + x^{2} + x $. A ideia é calcular a integral dessa função nesse intervalo para encontrar a área sob o gráfico.

Passo 3

Vamos calcular a integral de $ f(x) = x^{3} + x^{2} + x $ de $ x = -1 $ a $ x = 0 $:
f(x) = x^3 + x^2 + x
Para integrar, vamos integrar cada termo separadamente:
x = -1
x = 0
integral-1^0 (x^3 + x^2 + x) , dx
Então, a integral completa fica:
integral x^3 , dx = x^44
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração.
Quando $ x = 0 $:
integral x^2 , dx = x^33
Quando $ x = -1 $:
integral x , dx = x^22
Vamos fazer a conta:
[ x^44 + x^33 + x^22 ]-1^0
Então, a área do primeiro intervalo é:
x = 0
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
0^44 + 0^33 + 0^22 = 0

Passo 4

Agora, vamos para o segundo intervalo, de $ x = 0 $ até $ x = \pi $, onde a função é $ f(x) = x \sin(x) $. Vamos calcular a integral dessa função nesse intervalo para achar a área.

Passo 5

A integral que precisamos resolver é:
integral0^pi x sin(x) , dx
Para integrar $ x \sin(x) $, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica que envolve dividir a função em duas partes: uma que será derivada e outra que será integrada. A fórmula é:
x sin(x)
Vamos escolher:
integral u , dv = uv - integral v , du
u = x Rightarrow du = dx

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x sin(x) , dx = -x cos(x) + integral cos(x) , dx
= -x cos(x) + sin(x) + C
Agora, vamos avaliar essa expressão de $ 0 $ a $ \pi $:
0
Primeiro, para $ x = \pi $:
pi
Depois, para $ x = 0 $:
[ -x cos(x) + sin(x) ]0^pi
Então, a área do segundo intervalo é:
x = pi

Passo 7

Agora, somamos as áreas dos dois intervalos para obter a área total da região delimitada:
512 + pi

Resposta

A área da região delimitada é $ \frac{5}{12} + \pi $ unidades de área.

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