Valor: 2,0] Determine a área da região delimitada pelo gráfico da função
eixo das abscissas e a reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um exercício que pede pra determinar a área de uma região delimitada pelo gráfico de uma função, pelo eixo das abscissas (que é o eixo x) e pela reta vertical $ x = -1 $. A função é definida por partes:
Vamos usar cálculo integral para encontrar essa área, integrando cada parte da função no seu respectivo intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no intervalo de $ x = -1 $ até $ x = 0 $, onde a função é $ f(x) = x^{3} + x^{2} + x $. A ideia é calcular a integral dessa função nesse intervalo para encontrar a área sob o gráfico.
Passo 3
Vamos calcular a integral de $ f(x) = x^{3} + x^{2} + x $ de $ x = -1 $ a $ x = 0 $:
Para integrar, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral completa fica:
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração.
Quando $ x = 0 $:
Quando $ x = -1 $:
Vamos fazer a conta:
Então, a área do primeiro intervalo é:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Passo 4
Agora, vamos para o segundo intervalo, de $ x = 0 $ até $ x = \pi $, onde a função é $ f(x) = x \sin(x) $. Vamos calcular a integral dessa função nesse intervalo para achar a área.
Passo 5
A integral que precisamos resolver é:
Para integrar $ x \sin(x) $, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica que envolve dividir a função em duas partes: uma que será derivada e outra que será integrada. A fórmula é:
Vamos escolher:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, vamos avaliar essa expressão de $ 0 $ a $ \pi $:
Primeiro, para $ x = \pi $:
Depois, para $ x = 0 $:
Então, a área do segundo intervalo é:
Passo 7
Agora, somamos as áreas dos dois intervalos para obter a área total da região delimitada:
Resposta
A área da região delimitada é $ \frac{5}{12} + \pi $ unidades de área.