Apenas uma das funçōes indicadas abaixo admite uma raiz no intervalo (2,3). Qual é a função?
Escolha uma opção:
a. f(x)=x^2-3x^3+1.
b. f(x)=4(x-2)^2-x.
c. f(x)=x^3-3 xx^4-2.
d. f(x)=sen(pi x)-x2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir qual das quatro funções dadas tem uma raiz no intervalo entre 2 e 3. Isso significa que queremos encontrar qual função cruza o eixo x nesse intervalo. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a saber se uma função tem uma raiz em um intervalo verificando se ela muda de sinal nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos avaliar cada função nos pontos x = 2 e x = 3. Se a função muda de positivo para negativo ou de negativo para positivo entre esses dois pontos, então ela tem uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Opção a. f(2) = 2^2 - 32^3 + 1 = 4 - 38 + 1 = 19 > 0
  • Em x = 2: f(3) = 3^2 - 33^3 + 1 = 9 - 327 + 1 = 628 approx 0,214 > 0
  • Em x = 3:
Observação: A função não muda de sinal entre 2 e 3, então não tem raiz nesse intervalo.

Passo 4

Opção b. f(2) = 4(2 - 2)^2 - 2 = 4(0) - 2 = -2 < 0
  • Em x = 2: f(3) = 4(3 - 2)^2 - 3 = 4(1) - 3 = 4 - 3 = 1 > 0
  • Em x = 3:
Observação: A função muda de negativo para positivo entre 2 e 3, indicando que há uma raiz nesse intervalo.

Passo 5

Opção c. f(2) = 2^3 - 3(2)2^4 - 2 = 8 - 616 - 2 = 214 approx 0,143 > 0
  • Em x = 2: f(3) = 3^3 - 3(3)3^4 - 2 = 27 - 981 - 2 = 1879 approx 0,228 > 0
  • Em x = 3:
Observação: A função não muda de sinal entre 2 e 3, então não tem raiz nesse intervalo.

Passo 6

Opção d. f(2) = sin(2pi) - 22 = 0 - 1 = -1 < 0
  • Em x = 2: f(3) = sin(3pi) - 32 = 0 - 1,5 = -1,5 < 0
  • Em x = 3:
Observação: A função não muda de sinal entre 2 e 3, então não tem raiz nesse intervalo.

Resposta

A função que admite uma raiz no intervalo (2, 3) é a opção b:
f(x) = 4(x - 2)^2 - x

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