Use indução matemática para mostrar que 1+2+2^2+ldots+2^n=2^n+1-1, para todos os números inteiros não negativos n .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente use indução matemática para provar que a soma é igual a para todo número inteiro não negativo . Indução matemática é uma técnica que a gente usa para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais, começando do zero ou um. Vamos precisar verificar a verdade da afirmação para o primeiro caso (base) e depois mostrar que, se for verdadeira para um caso qualquer, também é para o próximo (passo de indução).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, ou seja, quando . Substituindo na expressão:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Como , o caso base está confirmado. Isso mostra que a fórmula funciona para .

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número inteiro . Esse é o nosso hipótese de indução. Ou seja, estamos assumindo que:
Essa suposição vai nos ajudar a provar que a afirmação também é verdadeira para .

Passo 4

Vamos agora provar que, se a afirmação é verdadeira para , ela também é para . Vamos considerar a soma até :
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que . Então, substituindo:
Isso mostra que a fórmula também vale para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, a fórmula é verdadeira para todos os números inteiros não negativos .

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