Use indução matemática para mostrar que
, para todos os números inteiros não negativos n .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente use indução matemática para provar que a soma
é igual a
para todo número inteiro não negativo
. Indução matemática é uma técnica que a gente usa para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais, começando do zero ou um. Vamos precisar verificar a verdade da afirmação para o primeiro caso (base) e depois mostrar que, se for verdadeira para um caso qualquer, também é para o próximo (passo de indução).
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, ou seja, quando
. Substituindo na expressão:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Como
, o caso base está confirmado. Isso mostra que a fórmula funciona para
.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número inteiro
. Esse é o nosso hipótese de indução. Ou seja, estamos assumindo que:
Essa suposição vai nos ajudar a provar que a afirmação também é verdadeira para
.
Passo 4
Vamos agora provar que, se a afirmação é verdadeira para
, ela também é para
. Vamos considerar a soma até
:
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que
. Então, substituindo:
Isso mostra que a fórmula também vale para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a fórmula
é verdadeira para todos os números inteiros não negativos
.