Calcule a integral de linha da função vetorial F(x, y)=(2 x, cos y+2 y arctan y) ao longo da curva C dada pela parametrização varphi(t)=((1+sen t) cos t,(1+sen t) sen t) com t in[0, pi].

Passo 1

Neste exercício, a gente precisa calcular a integral de linha de F(x,y) = (2x,,cos y + 2yarctan y) ao longo da curva C dada pela parametrização varphi(t) = ((1+sin t)cos t,,(1+sin t)sin t), com t variando de 0 a pi. O que vamos usar é o conceito de campos conservativos e o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Verificamos se F é conservativo calculando as derivadas parciais: P(x,y) = 2x e Q(x,y) = cos y + 2yarctan y. Temos
partial Ppartial y = 0, partial Qpartial x = 0
Como são iguais em todo R^2, F é conservativo.

Passo 3

Existe uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = 2x, partial Phipartial y = cos y + 2yarctan y
Integrando a primeira igualdade em relação a x, obtemos
Phi(x,y) = x^2 + h(y)
para alguma função h(y).

Passo 4

Para determinar h(y), usamos
h'(y) = cos y + 2yarctan y
Integramos em y:
integral cos y ,dy = sin y,
integral 2yarctan y,dy = 2integral yarctan y,dy
No segundo integral, aplicamos partes com u = arctan y, dv = y,dy:
integral yarctan y,dy = y^22arctan y - 12integral y^21+y^2,dy = y^22arctan y - y2 + 12arctan y
Multiplicando por 2, resulta
2integral yarctan y,dy = y^2arctan y - y + arctan y
Logo,
h(y) = sin y + y^2arctan y - y + arctan y + C
Podemos escolher C=0. Assim,
Phi(x,y) = x^2 + sin y + y^2arctan y - y + arctan y

Passo 5

Como F é conservativo, a integral de linha vale
Phil(varphi(pi)r) - Phil(varphi(0)r)
Temos
varphi(0) = (1,0), varphi(pi) = (-1,0)
E
Phi(1,0) = 1^2 + 0 + 0 - 0 + 0 = 1,
Phi(-1,0) = (-1)^2 + 0 + 0 - 0 + 0 = 1
Portanto, a integral de linha é 1 - 1 = 0.

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