Calcule a integral de linha da função vetorial
ao longo da curva
dada pela parametrização
.
Passo 1
Neste exercício, a gente precisa calcular a integral de linha de
ao longo da curva
dada pela parametrização
, com
variando de 0 a
. O que vamos usar é o conceito de campos conservativos e o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
Passo 2
Verificamos se
é conservativo calculando as derivadas parciais:
e
. Temos
Como são iguais em todo
,
é conservativo.
Passo 3
Existe uma função potencial
tal que
Integrando a primeira igualdade em relação a
, obtemos
para alguma função
.
Passo 4
Para determinar
, usamos
Integramos em
:
No segundo integral, aplicamos partes com
,
:
Multiplicando por 2, resulta
Logo,
Podemos escolher
. Assim,
Passo 5
Como
é conservativo, a integral de linha vale
Temos
E
Portanto, a integral de linha é
.
Resposta
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