Determine o comprimento da curva dada.
r(t)=raizt imath+e^t jmath+e^-t k, 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede pra achar o comprimento de arco de uma curva paramétrica no intervalo de parâmetro de 0 a 1. O conteúdo que vamos usar é a fórmula do comprimento de arco, que diz que
L=integrala^b |r'(t)|,dt

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada do vetor posição: r(t)=l(raiz t,;e^t,;e^-tr) logo
r'(t)=l(tfracddtraiz t,;tfracddte^t,;tfracddte^-tr)=l(tfrac12raiz t,;e^t,;-e^-tr)

Passo 3

Em seguida, achamos a norma de r'(t). Lembrando que a norma de um vetor (a,b,c) é raiza^2+b^2+c^2, temos
|r'(t)|=raizl(tfrac12raiz tr)^2+(e^t)^2+(-e^-t)^2 =raiztfrac14t+e^2t+e^-2t

Passo 4

Pronto! Substituímos na fórmula do comprimento de arco e obtemos
L=integral0^1raiztfrac14t+e^2t+e^-2t,dt Este integral não tem forma elementar simples, então essa expressão é a forma exata do comprimento.

Passo 5

Se for preciso valor numérico, pode-se avaliar o integral por métodos numéricos (por exemplo, regra de Simpson) para obter uma aproximação.

Resposta

L=integral0^1raiz14t+e^2t+e^-2t,dt

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