Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde estão dadas as seguintes informações:
com o parâmetro variando em
.
As perguntas são: calcular explicitamente a integral de linha usando a parametrização fornecida e obter o valor numérico final.
As perguntas são: calcular explicitamente a integral de linha
Passo 2
Regra para transformar a integral de linha em integral em
: quando uma curva
é dada por uma parametrização
,
, a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de
é
Explicando as notações:
significa substituir
por suas expressões em termos de
dadas por
;
é a derivada componente a componente da parametrização; e o ponto central é calcular o produto escalar
que produz uma função de
que integraremos de
a
.
Passo 3
Calculemos
derivando cada componente de
:
Derivando:
Aqui cada componente é a derivada da componente correspondente da parametrização.
Passo 4
Agora substituímos
em
pelas componentes de
. Como
,
e
, temos
Escrevi a componente
como
porque
tem
na direção
.
Passo 5
Calculemos o produto escalar
. Lembre que o produto escalar de vetores
. Aplicando aos vetores obtidos:
As duas primeiras parcelas se anulam
, restando
Passo 6
Agora a integral de linha vira a integral de uma função de
:
Para integrar, uso a substituição simples
. Então
. Assim
Os limites em
: quando
temos
; quando
temos
. Portanto a integral torna-se
Uma integral com mesmos limites é zero, mas vamos mostrar também o cálculo antiderivado: uma primitiva de
é
, então avaliando de
a
dá
. Portanto o valor da integral é zero.
Passo 7
Interpretação extra (para fixar a ideia): a função integranda
é uma função ímpar em torno de
ou simplesmente tem antiderivada
que toma o mesmo valor nos extremos
e
, por isso a integral do intervalo é zero. Isso confirma o resultado obtido por substituição.