Calcule a integral de linha \int_{C} \boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{r}, onde C é dada pela função vetorial r(t).
F(x, y)=x i+y j-x y k, r(t)=\cos t i+\operatorname{sen} t j+t k, 0 \leq t \leq \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}, onde estão dadas as seguintes informações:
\boldsymbol{F}(x,y)=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}-xy\,\mathbf{k},
\boldsymbol{r}(t)=\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}+t\,\mathbf{k},
com o parâmetro variando em 0\le t\le \pi.
As perguntas são: calcular explicitamente a integral de linha \displaystyle \int_{C}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} usando a parametrização fornecida e obter o valor numérico final.

Passo 2

Regra para transformar a integral de linha em integral em t: quando uma curva C é dada por uma parametrização \boldsymbol{r}(t), a\le t\le b, a integral de linha de um campo vetorial \boldsymbol{F}(x,y,z) ao longo de C é
\int_{C}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}=\int_{a}^{b}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(t))\cdot \boldsymbol{r}'(t)\,dt.
Explicando as notações: \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(t)) significa substituir x,y,z por suas expressões em termos de t dadas por \boldsymbol{r}(t); \boldsymbol{r}'(t) é a derivada componente a componente da parametrização; e o ponto central é calcular o produto escalar \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(t))\cdot \boldsymbol{r}'(t) que produz uma função de t que integraremos de a a b.

Passo 3

Calculemos \boldsymbol{r}'(t) derivando cada componente de \boldsymbol{r}(t):
\boldsymbol{r}(t)=\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}+t\,\mathbf{k}
Derivando:
\boldsymbol{r}'(t)=-\sin t\,\mathbf{i}+\cos t\,\mathbf{j}+1\,\mathbf{k}.
Aqui cada componente é a derivada da componente correspondente da parametrização.

Passo 4

Agora substituímos x,y,z em \boldsymbol{F}(x,y,z) pelas componentes de \boldsymbol{r}(t). Como x=\cos t, y=\sin t e z=t, temos
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(t))=\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}-(\cos t)(\sin t)\,\mathbf{k}.
Escrevi a componente k como -\cos t\sin t porque \boldsymbol{F} tem -xy na direção \mathbf{k}.

Passo 5

Calculemos o produto escalar \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(t))\cdot \boldsymbol{r}'(t). Lembre que o produto escalar de vetores (a_1,a_2,a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3. Aplicando aos vetores obtidos:
\begin{aligned} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(t))\cdot \boldsymbol{r}'(t) &= (\cos t)(-\sin t) + (\sin t)(\cos t) + \big(-\cos t\sin t\big)(1)\\[4pt] &= -\cos t\sin t + \cos t\sin t -\cos t\sin t. \end{aligned}
As duas primeiras parcelas se anulam -\cos t\sin t + \cos t\sin t = 0, restando
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(t))\cdot \boldsymbol{r}'(t) = -\cos t\sin t.]

Passo 6

Agora a integral de linha vira a integral de uma função de t:
\int_{C}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}=\int_{0}^{\pi} -\cos t\sin t\,dt.
Para integrar, uso a substituição simples u=\sin t. Então du=\cos t\,dt. Assim
-\cos t\sin t\,dt = -u\,du.
Os limites em u: quando t=0 temos u=\sin 0=0; quando t=\pi temos u=\sin\pi=0. Portanto a integral torna-se
\int_{0}^{\pi} -\cos t\sin t\,dt = \int_{u=0}^{u=0} -u\,du.
Uma integral com mesmos limites é zero, mas vamos mostrar também o cálculo antiderivado: uma primitiva de -u é -\tfrac{1}{2}u^{2}, então avaliando de 0 a 0 -\tfrac{1}{2}(0)^{2}-\big(-\tfrac{1}{2}(0)^{2}\big)=0. Portanto o valor da integral é zero.

Passo 7

Interpretação extra (para fixar a ideia): a função integranda -\cos t\sin t é uma função ímpar em torno de t=\tfrac{\pi}{2} ou simplesmente tem antiderivada -\tfrac{1}{2}\sin^{2}t que toma o mesmo valor nos extremos t=0 e t=\pi, por isso a integral do intervalo é zero. Isso confirma o resultado obtido por substituição.

Resposta

0

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