Considere
. Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
ao longo da parte superior curva da
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede: "determine o trabalho realizado pelo campo
ao longo da parte superior da curva
". Informações relevantes que extraí do enunciado:
- A "parte superior da curva
" é a semicircunferência com e raio . - A semicircunferência tem pontos extremos
e . - Como o enunciado não explicou a orientação, vou adotar a orientação padrão positiva (contrarrelógio) para a semicircunferência superior, o que corresponde a parametrizar com
por
isto é, a curva vai de
(para
) até
(para
). Portanto o trabalho pedido será a integral de linha de
ao longo desse arco orientado de
para
.
Passo 2
Escolha do método: eu vou verificar se
é um campo conservativo (isto é, se existe uma função potencial
com
). Por que isso ajuda? Porque para um campo conservativo, o trabalho entre dois pontos independe do caminho e basta calcular
nos extremos:
Antes de usar isso, preciso verificar a condição de conservatividade no domínio que contém a semicircunferência (o plano inteiro é simplesmente conexo, então basta verificar que a rotacional é zero).
Passo 3
Calcular a “rotacional” (no plano, a diferença das derivadas parciais) para testar se o campo é conservativo. Escrevo as componentes como
Agora calculo as derivadas parciais necessárias:
Como
para todos
, a rotacional é zero e, no domínio inteiro (simply connected),
é conservativo.
Passo 4
Agora procuro a função potencial
tal que
Integro essa igualdade em relação a
(tratando
como constante):
Para integrar
fazemos a substituição natural
(ou perceber que a derivada de
em relação a
é
). Logo
Portanto, a integração em
dá, até uma função de
só,
onde
é uma função que depende somente de
.
Passo 5
Determino
usando a segunda componente: devo ter
Calculo
a partir de
:
Comparando com
obtenho
Cancelando
dos dois lados dá
Integro em
:
onde
é constante arbitrária (não interessa para diferenças de potencial). Assim uma potencial conveniente é
Passo 6
Agora uso a propriedade fundamental: para o campo conservativo
o trabalho ao longo de um caminho que parte de
e vai para
é
Lembrete: escolhemos a orientação contrarrelógio para a semicircunferência superior, então o ponto inicial é
e o ponto final é
. Vou avaliar
nesses pontos. Primeiro, para ambos
e
, então
e
. Assim
Portanto o trabalho é
Passo 7
Cheguei à resposta principal: o trabalho realizado por
ao longo da semicircunferência superior, orientada no sentido positivo (contrarrelógio, de
para
), é
.
Passo 8
Checagem rápida (opcional, para ficar mais confiante): se parametrizarmos por
e fizermos a integral direta
, após simplificações a integral se reduz a duas partes, uma que é integral de uma derivada exata de
(que dá zero no intervalo) e outra que dá
. O resultado coincide com
, confirmando o cálculo via potencial.