Considere F(x, y)=\left\langle 1+y e^{x y}, 2 y+x e^{x y}\right\rangle. Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial F ao longo da parte superior curva da x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y)=\langle 1+y e^{xy},\; 2y + x e^{xy}\rangle
e pede: "determine o trabalho realizado pelo campo F ao longo da parte superior da curva x^{2}+y^{2}=4". Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • A "parte superior da curva x^{2}+y^{2}=4" é a semicircunferência com y\ge 0 e raio 2.
  • A semicircunferência tem pontos extremos (-2,0) e (2,0).
  • Como o enunciado não explicou a orientação, vou adotar a orientação padrão positiva (contrarrelógio) para a semicircunferência superior, o que corresponde a parametrizar com t\in[0,\pi] por
x=2\cos t,\qquad y=2\sin t,
isto é, a curva vai de (2,0) (para t=0) até (-2,0) (para t=\pi). Portanto o trabalho pedido será a integral de linha de F ao longo desse arco orientado de (2,0) para (-2,0).

Passo 2

Escolha do método: eu vou verificar se F é um campo conservativo (isto é, se existe uma função potencial \varphi com \nabla\varphi=F). Por que isso ajuda? Porque para um campo conservativo, o trabalho entre dois pontos independe do caminho e basta calcular \varphi nos extremos:
\text{trabalho}=\varphi(\text{ponto final})-\varphi(\text{ponto inicial}).
Antes de usar isso, preciso verificar a condição de conservatividade no domínio que contém a semicircunferência (o plano inteiro é simplesmente conexo, então basta verificar que a rotacional é zero).

Passo 3

Calcular a “rotacional” (no plano, a diferença das derivadas parciais) para testar se o campo é conservativo. Escrevo as componentes como
F_1(x,y)=1+y e^{xy},\qquad F_2(x,y)=2y+x e^{xy}.
Agora calculo as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial F_2}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\big(2y + x e^{xy}\big) = e^{xy} + x\cdot e^{xy}\cdot y = e^{xy}\big(1+xy\big),
\frac{\partial F_1}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\big(1 + y e^{xy}\big) = e^{xy} + y\cdot e^{xy}\cdot x = e^{xy}\big(1+xy\big).
Como
\frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial F_1}{\partial y}
para todos (x,y), a rotacional é zero e, no domínio inteiro (simply connected), F é conservativo.

Passo 4

Agora procuro a função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=F_1(x,y)=1+y e^{xy}.
Integro essa igualdade em relação a x (tratando y como constante):
\varphi(x,y)=\int\big(1+y e^{xy}\big)\,dx = \int 1\,dx + \int y e^{xy}\,dx = x + \int y e^{xy}\,dx.
Para integrar \int y e^{xy}\,dx fazemos a substituição natural u=xy (ou perceber que a derivada de e^{xy} em relação a x é y e^{xy}). Logo
\int y e^{xy}\,dx = e^{xy}.
Portanto, a integração em x dá, até uma função de y só,
\varphi(x,y)=x + e^{xy} + h(y),
onde h(y) é uma função que depende somente de y.

Passo 5

Determino h(y) usando a segunda componente: devo ter
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=F_2(x,y)=2y + x e^{xy}.
Calculo \partial\varphi/\partial y a partir de \varphi(x,y)=x + e^{xy} + h(y):
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{xy}\big) + h'(y) = 0 + x e^{xy} + h'(y).
Comparando com F_2 obtenho
x e^{xy} + h'(y) = 2y + x e^{xy}.
Cancelando x e^{xy} dos dois lados dá
h'(y)=2y.
Integro em y:
h(y)=\int 2y\,dy = y^{2} + C,
onde C é constante arbitrária (não interessa para diferenças de potencial). Assim uma potencial conveniente é
\varphi(x,y)=x + e^{xy} + y^{2}.

Passo 6

Agora uso a propriedade fundamental: para o campo conservativo F o trabalho ao longo de um caminho que parte de A e vai para B é
W=\varphi(B)-\varphi(A).
Lembrete: escolhemos a orientação contrarrelógio para a semicircunferência superior, então o ponto inicial é (2,0) e o ponto final é (-2,0). Vou avaliar \varphi nesses pontos. Primeiro, para ambos y=0 e xy=0, então e^{xy}=e^{0}=1 e y^2=0. Assim
\varphi(2,0)=2 + 1 + 0 = 3,
\varphi(-2,0)=-2 + 1 + 0 = -1.
Portanto o trabalho é
W=\varphi(-2,0)-\varphi(2,0) = -1 - 3 = -4.

Passo 7

Cheguei à resposta principal: o trabalho realizado por F ao longo da semicircunferência superior, orientada no sentido positivo (contrarrelógio, de (2,0) para (-2,0)), é -4.

Passo 8

Checagem rápida (opcional, para ficar mais confiante): se parametrizarmos por
x=2\cos t,\quad y=2\sin t,\quad t\in[0,\pi],
e fizermos a integral direta \int_{0}^{\pi} F(r(t))\cdot r'(t)\,dt, após simplificações a integral se reduz a duas partes, uma que é integral de uma derivada exata de e^{2\sin 2t} (que dá zero no intervalo) e outra que dá -4. O resultado coincide com W=-4, confirmando o cálculo via potencial.

Resposta

-4

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