Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde foram dadas as seguintes informações:
Pergunta explicitamente: calcular o valor numérico de
.
Passo 2
Vamos usar a fórmula padrão para integrar um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada. Se
é uma parametrização de
para
em
, então
Explicando essa fórmula:
é a velocidade (derivada da parametrização) e
. O produto escalar
dá a componente do campo na direção do movimento; integrando em
somamos essa contribuição ao longo da curva.
Passo 3
Calcule
derivando cada componente de
em relação a
:
Aqui usei que a derivada de
é
e a derivada de uma constante (
) é
.
Passo 4
Avalie o campo
sobre a curva, ou seja, substitua
e
por
. Como
, temos
Expliquei: a componente vertical do campo é
; com
isso vira
.
Passo 5
Calcule o produto escalar
:
Interpretação intuitiva: o campo
em cada ponto aponta puramente na direção
(vertical) enquanto a velocidade
aponta puramente na direção
(horizontal) — portanto são ortogonais e o produto escalar é zero.
Passo 6
Agora integramos no intervalo de
:
Como integrando a função zero sobre qualquer intervalo obtemos zero.
Resposta
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