Calcule a integral de linha \int_{C} F \cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
F(x, y)=\left\langle 0, x^{2}\right\rangle, r(t)=\left\langle t^{2}, 3\right\rangle,-1 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \int_{C} F\cdot d r onde foram dadas as seguintes informações:
F(x,y)=\langle 0, x^{2}\rangle,
r(t)=\langle t^{2}, 3\rangle,\qquad -1\le t\le 1.
Pergunta explicitamente: calcular o valor numérico de \displaystyle \int_{C} F\cdot d r.

Passo 2

Vamos usar a fórmula padrão para integrar um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada. Se r(t) é uma parametrização de C para t em [a,b], então
\int_{C} F\cdot d r = \int_{a}^{b} F\big(r(t)\big)\cdot r'(t)\,dt.
Explicando essa fórmula: r'(t) é a velocidade (derivada da parametrização) e d r = r'(t)\,dt. O produto escalar F(r(t))\cdot r'(t) dá a componente do campo na direção do movimento; integrando em t somamos essa contribuição ao longo da curva.

Passo 3

Calcule r'(t) derivando cada componente de r(t) em relação a t:
r(t)=\langle t^{2},3\rangle \implies r'(t)=\langle 2t,0\rangle.
Aqui usei que a derivada de t^{2} é 2t e a derivada de uma constante ( 3) é 0.

Passo 4

Avalie o campo F sobre a curva, ou seja, substitua x e y por r(t). Como x=t^{2}, temos
F\big(r(t)\big)=\big\langle 0,\; (t^{2})^{2}\big\rangle=\langle 0, t^{4}\rangle.
Expliquei: a componente vertical do campo é x^{2}; com x=t^{2} isso vira t^{4}.

Passo 5

Calcule o produto escalar F(r(t))\cdot r'(t):
F(r(t))\cdot r'(t)=\langle 0,t^{4}\rangle\cdot\langle 2t,0\rangle = 0\cdot 2t + t^{4}\cdot 0 = 0.
Interpretação intuitiva: o campo F em cada ponto aponta puramente na direção y (vertical) enquanto a velocidade r'(t) aponta puramente na direção x (horizontal) — portanto são ortogonais e o produto escalar é zero.

Passo 6

Agora integramos no intervalo de t:
\int_{C} F\cdot d r = \int_{-1}^{1} 0 \, dt = 0.
Como integrando a função zero sobre qualquer intervalo obtemos zero.

Resposta

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