Utilizando a técnica de substituição, calcule as integrais a seguir.
\int(2 x+5)\left(x^{2}+5 x-1\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int (2x+5)\bigl(x^{2}+5x-1\bigr)^{2}\,dx
usando a técnica de substituição. O conteúdo principal é reconhecimento de uma parte da derivada no integrando para facilitar a antiderivação.

Passo 2

Observe que se fizermos
u = x^{2} + 5x - 1
então
\frac{du}{dx} = 2x + 5 \quad\Longrightarrow\quad du = (2x+5)\,dx.
Dessa forma, o fator (2x+5)\,dx do integrando se transforma em du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int (2x+5)\bigl(x^{2}+5x-1\bigr)^{2}\,dx = \int u^{2}\,du.
A antiderivada de u^{2} é
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.

Passo 4

Voltando à variável original x, basta substituir u = x^{2}+5x-1. Assim a primitiva fica
\frac{(x^{2}+5x-1)^{3}}{3} + C.

Resposta

\frac{(x^{2}+5x-1)^{3}}{3} + C

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