Utilizando a técnica de substituição, calcule as integrais a seguir.
\int 2 \sin (4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral \displaystyle \int 2 \sin(4x)\,dx
usando a técnica de substituição. O conteúdo aqui é integração por substituição, onde transformamos a variável x numa nova variável u de modo a simplificar a integral.

Passo 2

Fazemos a escolha de substituição
u = 4x,
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du = 4\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{4}.
Substituindo na integral original, temos
\int 2 \sin(4x)\,dx = 2 \int \sin(u)\,\frac{du}{4} = \frac{1}{2}\int \sin(u)\,du.

Passo 3

Agora integramos em termos de u. Sabemos que
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C.
Portanto,
\frac{1}{2}\int \sin(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = -\frac{1}{2}\cos(u) + C.

Passo 4

Por fim, voltamos à variável original x usando u=4x. Assim, a primitiva é
-\frac{1}{2}\cos(4x) + C.

Resposta

-\frac{1}{2}\cos(4x) + C

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