Calcule
, onde C é a metade superior da circunferência
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde
é a metade superior da circunferência
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A curva
é a semicircunferência superior do círculo de raio centrado na origem. - A função a integrar ao longo da curva é
. - A diferencial é
, ou seja, estamos integrando em relação ao comprimento de arco da curva.
Passo 2
Como integrar em relação a
? Regra-prática: para uma curva parametrizada por
, com
em algum intervalo
, a integral de uma função escalar
ao longo da curva em relação ao comprimento de arco é
Aqui
é a velocidade da parametrização e representa
. Vou usar essa fórmula e parametrizar a semicircunferência superior de forma natural.
Passo 3
Parametrização natural do semicírculo superior: tomar
Explicação: quando
vai de
a
percorremos a metade superior do círculo unitário da direita para a esquerda, cobrindo exatamente a curva
uma vez.
Agora calculo
:
A norma (velocidade) é
Observação didática: para a circunferência unitária a velocidade da parametrização trigonométrica é
, então
neste caso.
Passo 4
Substituo
e
na função integranda
. Fica
Usando a fórmula do Passo 2 e
, a integral torna-se
Passo 5
Divido a integral em duas partes para simplificar:
Calculo a primeira parte diretamente:
Passo 6
Agora a segunda parte
. Faço a substituição
. Então
, ou seja
.
Quando temos
. Quando
temos
.
Quando
Transformando a integral:
O fator
troca os limites:
Esta é uma integral simples de uma função par no intervalo simétrico; calculo:
Passo 7
Somando as duas partes obtidas: