Calcule \int_{C}\left(2+x^{2} y\right) d s, onde C é a metade superior da circunferência x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C}\left(2+x^{2}y\right)\,ds
onde C é a metade superior da circunferência \,x^{2}+y^{2}=1. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A curva C é a semicircunferência superior do círculo de raio 1 centrado na origem.
  • A função a integrar ao longo da curva é f(x,y)=2+x^{2}y.
  • A diferencial é ds, ou seja, estamos integrando em relação ao comprimento de arco da curva.

Passo 2

Como integrar em relação a ds? Regra-prática: para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), com t em algum intervalo [a,b], a integral de uma função escalar f(x,y) ao longo da curva em relação ao comprimento de arco é
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt.
Aqui \|\mathbf{r}'(t)\| é a velocidade da parametrização e representa ds/dt. Vou usar essa fórmula e parametrizar a semicircunferência superior de forma natural.

Passo 3

Parametrização natural do semicírculo superior: tomar
\mathbf{r}(t)=(\cos t,\;\sin t),\qquad t\in[0,\pi].
Explicação: quando t vai de 0 a \pi percorremos a metade superior do círculo unitário da direita para a esquerda, cobrindo exatamente a curva C uma vez.
Agora calculo \mathbf{r}'(t):
\mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\;\cos t).
A norma (velocidade) é
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}}=\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t}=1.
Observação didática: para a circunferência unitária a velocidade da parametrização trigonométrica é 1, então ds=dt neste caso.

Passo 4

Substituo x=\cos t e y=\sin t na função integranda 2+x^{2}y. Fica
2+x^{2}y = 2+(\cos t)^{2}(\sin t).
Usando a fórmula do Passo 2 e \|\mathbf{r}'(t)\|=1, a integral torna-se
\int_{C}\left(2+x^{2}y\right)\,ds = \int_{0}^{\pi}\bigl(2+\cos^{2}t\sin t\bigr)\,dt.

Passo 5

Divido a integral em duas partes para simplificar:
\int_{0}^{\pi}\bigl(2+\cos^{2}t\sin t\bigr)\,dt = \int_{0}^{\pi}2\,dt \;+\; \int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt.
Calculo a primeira parte diretamente:
\int_{0}^{\pi}2\,dt = 2\pi.

Passo 6

Agora a segunda parte \displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt. Faço a substituição u=\cos t. Então du=-\sin t\,dt, ou seja \sin t\,dt=-du.
Quando t=0 temos u=\cos 0=1. Quando t=\pi temos u=\cos\pi=-1.
Transformando a integral:
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt = \int_{t=0}^{t=\pi} (\cos t)^{2}\sin t\,dt = \int_{u=1}^{u=-1} u^{2}(-du).
O fator - troca os limites:
\int_{u=1}^{u=-1} u^{2}(-du) = \int_{u=-1}^{u=1} u^{2}\,du.
Esta é uma integral simples de uma função par no intervalo simétrico; calculo:
\int_{-1}^{1} u^{2}\,du = \left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3} = \frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.

Passo 7

Somando as duas partes obtidas:
\int_{C}\left(2+x^{2}y\right)\,ds = 2\pi + \frac{2}{3}.

Resposta

2\pi+\dfrac{2}{3}

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