Calcule a integral de linha
, onde
, e
é dada pela função vetorial
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
. As informações dadas são:
- Campo vetorial
. - Curva
é dada pela parametrização com .
Portanto, a tarefa é avaliar a integral de linha do campoao longo da circunferência unitária percorrida uma vez para indo de a .
Passo 2
Vou lembrar a fórmula prática que usamos para calcular uma integral de linha de um campo vetorial quando a curva está parametrizada. Se
é uma parametrização de
e
é um campo vetorial, então
Explicando:
é a derivada vetorial de
(velocidade),
é o campo avaliado no ponto da curva, e o ponto representa o produto escalar entre esses vetores — que dá a componente do campo ao longo da direção do deslocamento infinitesimal.
Passo 3
Calcular
. Derivando componente a componente:
logo
Aqui usei que a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 4
Avaliar o campo
ao longo da curva, isto é substituir
e
. Assim
Obs.: peguei
e
da parametrização fornecida.
Passo 5
Calcular o produto escalar
. Substituindo os vetores obtidos:
Fazendo as multiplicações:
Usando a identidade trigonométrica fundamental
, obtemos
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da Passo 2 e integramos em
de
a
:
Interpretação breve e amiga: ao longo da circunferência unitária o produto escalar do campo com a velocidade é constantemente
, por isso a integral simplesmente acumula esse valor ao longo do comprimento paramétrico do intervalo de ângulos, dando
.