Calcule a integral de linha \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde \mathbf{F}(x, y)=-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}, e C é dada pela função vetorial \mathbf{r}(t)= \cos (t) \mathbf{i}+\sin (t) \mathbf{j} \operatorname{com} 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}. As informações dadas são:
  • Campo vetorial \mathbf{F}(x,y) = -y\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j}.
  • Curva C é dada pela parametrização \mathbf{r}(t) = \cos(t)\,\mathbf{i} + \sin(t)\,\mathbf{j} com 0 \le t \le 2\pi.
    Portanto, a tarefa é avaliar a integral de linha do campo \mathbf{F} ao longo da circunferência unitária percorrida uma vez para t indo de 0 a 2\pi.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula prática que usamos para calcular uma integral de linha de um campo vetorial quando a curva está parametrizada. Se \mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^2 é uma parametrização de C e \mathbf{F} é um campo vetorial, então
\displaystyle \int_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{a}^{b} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
Explicando: \mathbf{r}'(t) é a derivada vetorial de \mathbf{r}(t) (velocidade), \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) é o campo avaliado no ponto da curva, e o ponto representa o produto escalar entre esses vetores — que dá a componente do campo ao longo da direção do deslocamento infinitesimal.

Passo 3

Calcular \mathbf{r}'(t). Derivando componente a componente:
\mathbf{r}(t)=\cos(t)\,\mathbf{i}+\sin(t)\,\mathbf{j}
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\mathbf{r}'(t) = -\sin(t)\,\mathbf{i} + \cos(t)\,\mathbf{j}.
Aqui usei que a derivada de \cos(t) é -\sin(t) e a derivada de \sin(t) é \cos(t).

Passo 4

Avaliar o campo \mathbf{F} ao longo da curva, isto é substituir x=\cos(t) e y=\sin(t). Assim
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = -y\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j} = -\sin(t)\,\mathbf{i} + \cos(t)\,\mathbf{j}.
Obs.: peguei x=\cos(t) e y=\sin(t) da parametrização fornecida.

Passo 5

Calcular o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t). Substituindo os vetores obtidos:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) = \big(-\sin(t)\big)\big(-\sin(t)\big) + \big(\cos(t)\big)\big(\cos(t)\big).
Fazendo as multiplicações:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) = \sin^{2}(t) + \cos^{2}(t).
Usando a identidade trigonométrica fundamental \sin^{2}(t)+\cos^{2}(t)=1, obtemos
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) = 1.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da Passo 2 e integramos em t de 0 a 2\pi:
\displaystyle \int_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{2\pi} 1 \, dt = \big[ t \big]_{0}^{2\pi} = 2\pi.
Interpretação breve e amiga: ao longo da circunferência unitária o produto escalar do campo com a velocidade é constantemente 1, por isso a integral simplesmente acumula esse valor ao longo do comprimento paramétrico do intervalo de ângulos, dando 2\pi.

Resposta

\;2\pi

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