Demonstre que o quadrado do intervalo entre dois eventos
é invariante por transformações de Lorent%.
Passo 1
O enunciado nos dá a expressão do “intervalo” entre dois eventos (diferença de coordenadas entre eles) e pede para demonstrar que esse valor é o mesmo em dois referenciais relacionados por transformações de Lorentz. As informações explícitas do enunciado são:
- A definição do quadrado do intervalo entre dois eventos:
- A tarefa: demonstrar que esse número (o valor de
) é invariante quando se passa para outro referencial que esteja relacionado ao primeiro por uma transformação de Lorentz.
Os dados que estão implícitos e que serão usados mais adiante (sem começar a resolver ainda): há duas observações (dois eventos) com diferenças de coordenadas
; existe a constante
(velocidade da luz). A seguir vamos trabalhar com dois referenciais inerciais e mostrar que, quando aplicadas as transformações de Lorentz entre eles, o valor de
não muda.
Passo 2
Escolhemos a configuração padrão de duas bases inerciais
e
:
se move com velocidade constante
ao longo do eixo
de
. Os eixos
e
são comuns e não se misturam com o movimento. As transformações de Lorentz (forma usual para um “boost” ao longo de
) entre as coordenadas de um evento em
e
são:
onde
é o fator de Lorentz, definido por
Explicando esses símbolos:
é a velocidade relativa entre os referenciais ao longo do eixo
;
é apenas um número que depende de
e de
. A identidade mais útil para
que vamos usar é
que decorre diretamente da definição de
.
Passo 3
Agora passo dos valores absolutos de coordenadas para as diferenças entre dois eventos (porque o intervalo é construído com essas diferenças). Subtraindo as coordenadas do evento 1 das do evento 2, as transformações valem igualmente para as diferenças; denotamos
,
, etc. Assim:
Observação didática: a transformação age linearmente sobre as diferenças; é por isso que podemos trabalhar diretamente com
s.
Passo 4
Vamos calcular explicitamente
substituindo
e
. Primeiro combine as partes em
e
:
Agora expandimos os quadrados com cuidado (passo a passo):
Calcule o primeiro quadrado:
Calcule o segundo quadrado dentro do parêntese:
Multiplicando esse segundo resultado por
(pois aparece como
vezes o quadrado):
Agora subtraímos essas duas expressões (o termo do primeiro quadrado menos o termo com
do segundo):
Repare que os termos em
se cancelam porque aparecem com sinais opostos. Ficamos com:
Agrupando os termos que multiplicam
e
:
Note que
. Assim podemos factorar
:
Voltando ao fator
que estava fora:
E aqui usamos a identidade fundamental do fator de Lorentz:
Portanto
Somando agora as partes em
e
(lembre que
e
) obtemos:
Passo 5
Conclusão e interpretação simples: a sequência algébrica acima mostra que o valor numérico do quadrado do intervalo entre dois eventos é o mesmo em
e em
. Em outras palavras,
Isso é exatamente a invariância do intervalo espaço-temporal sob transformações de Lorentz — um resultado central que diz que, embora coordenadas
mudem entre observadores em movimento relativo, a combinação
permanece fixa. Essa invariância permite classificar os intervalos (temporal, nulo, espacial) de maneira objetiva entre todos os referenciais inerciais.