Demonstre que o quadrado do intervalo entre dois eventos \Delta s^{2}=-c^{2} \Delta t^{2}+\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2} é invariante por transformações de Lorent%.

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão do “intervalo” entre dois eventos (diferença de coordenadas entre eles) e pede para demonstrar que esse valor é o mesmo em dois referenciais relacionados por transformações de Lorentz. As informações explícitas do enunciado são:
  • A definição do quadrado do intervalo entre dois eventos:
\Delta s^{2} = -c^{2}\Delta t^{2} + \Delta x^{2} + \Delta y^{2} + \Delta z^{2}.
  • A tarefa: demonstrar que esse número (o valor de \Delta s^{2}) é invariante quando se passa para outro referencial que esteja relacionado ao primeiro por uma transformação de Lorentz.
Os dados que estão implícitos e que serão usados mais adiante (sem começar a resolver ainda): há duas observações (dois eventos) com diferenças de coordenadas \Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z; existe a constante c (velocidade da luz). A seguir vamos trabalhar com dois referenciais inerciais e mostrar que, quando aplicadas as transformações de Lorentz entre eles, o valor de \Delta s^{2} não muda.

Passo 2

Escolhemos a configuração padrão de duas bases inerciais S e S': S' se move com velocidade constante v ao longo do eixo x de S. Os eixos y e z são comuns e não se misturam com o movimento. As transformações de Lorentz (forma usual para um “boost” ao longo de x) entre as coordenadas de um evento em S e S' são:
x' = \gamma (x - v t),\qquad t' = \gamma\!\left(t - \frac{v x}{c^{2}}\right),
y' = y,\qquad z' = z,
onde \gamma é o fator de Lorentz, definido por
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Explicando esses símbolos: v é a velocidade relativa entre os referenciais ao longo do eixo x; \gamma é apenas um número que depende de v e de c. A identidade mais útil para \gamma que vamos usar é
\gamma^{2}\!\left(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right) = 1,
que decorre diretamente da definição de \gamma.

Passo 3

Agora passo dos valores absolutos de coordenadas para as diferenças entre dois eventos (porque o intervalo é construído com essas diferenças). Subtraindo as coordenadas do evento 1 das do evento 2, as transformações valem igualmente para as diferenças; denotamos \Delta x = x_{2}-x_{1}, \Delta t = t_{2}-t_{1}, etc. Assim:
\Delta x' = \gamma(\Delta x - v\Delta t),
\Delta t' = \gamma\!\left(\Delta t - \frac{v\Delta x}{c^{2}}\right),
\Delta y' = \Delta y,\qquad \Delta z' = \Delta z.
Observação didática: a transformação age linearmente sobre as diferenças; é por isso que podemos trabalhar diretamente com \Deltas.

Passo 4

Vamos calcular explicitamente \Delta s'^{2} = -c^{2}\Delta t'^{2} + \Delta x'^{2} + \Delta y'^{2} + \Delta z'^{2} substituindo \Delta x' e \Delta t'. Primeiro combine as partes em x e t:
\Delta x'^{2} - c^{2}\Delta t'^{2} = \gamma^{2}\Big[(\Delta x - v\Delta t)^{2} - c^{2}\Big(\Delta t - \frac{v\Delta x}{c^{2}}\Big)^{2}\Big].
Agora expandimos os quadrados com cuidado (passo a passo):
Calcule o primeiro quadrado:
(\Delta x - v\Delta t)^{2} = \Delta x^{2} - 2v\Delta x\,\Delta t + v^{2}\Delta t^{2}.
Calcule o segundo quadrado dentro do parêntese:
\Big(\Delta t - \frac{v\Delta x}{c^{2}}\Big)^{2} = \Delta t^{2} - 2\frac{v}{c^{2}}\Delta t\,\Delta x + \frac{v^{2}}{c^{4}}\Delta x^{2}.
Multiplicando esse segundo resultado por c^{2} (pois aparece como c^{2} vezes o quadrado):
c^{2}\Big(\Delta t - \frac{v\Delta x}{c^{2}}\Big)^{2} = c^{2}\Delta t^{2} - 2v\Delta t\,\Delta x + \frac{v^{2}}{c^{2}}\Delta x^{2}.
Agora subtraímos essas duas expressões (o termo do primeiro quadrado menos o termo com c^{2} do segundo):
(\Delta x - v\Delta t)^{2} - c^{2}\Big(\Delta t - \frac{v\Delta x}{c^{2}}\Big)^{2} = \big(\Delta x^{2} - 2v\Delta x\,\Delta t + v^{2}\Delta t^{2}\big) - \big(c^{2}\Delta t^{2} - 2v\Delta t\,\Delta x + \frac{v^{2}}{c^{2}}\Delta x^{2}\big).
Repare que os termos em -2v\Delta x\,\Delta t se cancelam porque aparecem com sinais opostos. Ficamos com:
= \Delta x^{2} - c^{2}\Delta t^{2} + v^{2}\Delta t^{2} - \frac{v^{2}}{c^{2}}\Delta x^{2}.
Agrupando os termos que multiplicam \Delta x^{2} e \Delta t^{2}:
= \Big(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\Big)\Delta x^{2} - \Big(c^{2} - v^{2}\Big)\Delta t^{2}.
Note que \;c^{2}-v^{2}=c^{2}\big(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\big). Assim podemos factorar \big(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\big):
(\Delta x - v\Delta t)^{2} - c^{2}\Big(\Delta t - \frac{v\Delta x}{c^{2}}\Big)^{2} = \Big(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\Big)\big(\Delta x^{2} - c^{2}\Delta t^{2}\big).
Voltando ao fator \gamma^{2} que estava fora:
\Delta x'^{2} - c^{2}\Delta t'^{2} = \gamma^{2}\Big(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\Big)\big(\Delta x^{2} - c^{2}\Delta t^{2}\big).
E aqui usamos a identidade fundamental do fator de Lorentz:
\gamma^{2}\Big(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\Big) = 1.
Portanto
\Delta x'^{2} - c^{2}\Delta t'^{2} = \Delta x^{2} - c^{2}\Delta t^{2}.
Somando agora as partes em y e z (lembre que \Delta y'=\Delta y e \Delta z'=\Delta z) obtemos:
\Delta s'^{2} = -c^{2}\Delta t'^{2} + \Delta x'^{2} + \Delta y'^{2} + \Delta z'^{2} = -c^{2}\Delta t^{2} + \Delta x^{2} + \Delta y^{2} + \Delta z^{2} = \Delta s^{2}.

Passo 5

Conclusão e interpretação simples: a sequência algébrica acima mostra que o valor numérico do quadrado do intervalo entre dois eventos é o mesmo em S e em S'. Em outras palavras,
\Delta s'^{2} = \Delta s^{2}.
Isso é exatamente a invariância do intervalo espaço-temporal sob transformações de Lorentz — um resultado central que diz que, embora coordenadas t,x,y,z mudem entre observadores em movimento relativo, a combinação -c^{2}\Delta t^{2}+\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2} permanece fixa. Essa invariância permite classificar os intervalos (temporal, nulo, espacial) de maneira objetiva entre todos os referenciais inerciais.

Resposta

\Delta s'^{2} = \Delta s^{2}

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