5- Calcule a integral de linha
, onde C é a elipse
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a elipse
Informações relevantes fornecidas:
- A curva
é a fronteira da região interior da elipse . - O integrando é da forma
com e . - A integral é sobre a curva fechada
. (Sempre que isso não é explicitado, trabalha-se com a orientação positiva — isto é, contrária ao relógio.)
Passo 2
Vamos identificar claramente
e
e verificar propriedades úteis:
Explicando: numa integral de linha do tipo
tratamos
como a componente em
e
como a componente em
.
Passo 3
Verificamos se o campo é conservativo (isto pode simplificar se fosse) calculando as derivadas parciais:
Como
(diferença é
), o campo não é conservativo e não podemos simplesmente encontrar uma potencial. Então usaremos outro método.
Passo 4
Apresento agora o teorema que vamos usar: o Teorema de Green (forma planar).
Enunciado prático: se é a fronteira orientada positivamente de uma região
no plano, e
têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de
, então
Enunciado prático: se
Comentário didático: o teorema transforma uma integral de linha fechada numa área dupla sobre a região interna, o que frequentemente simplifica muito quando a expressão do integrando é simples (como acontece aqui).
Passo 5
Aplicamos o integrando do lado direito de Green, usando as derivadas já calculadas:
Observação: isso é ótimo — o integrando da integral dupla é uma constante
, então a integral dupla fica simplesmente
vezes a área da região
limitada pela elipse.
Passo 6
Logo pela aplicação de Green:
Precisamos então calcular a área da elipse
.
Passo 7
Cálculo da área da elipse. Fórmula conhecida: a área de uma elipse com semi-eixos
e
é
. Aqui a elipse está na forma
com
e
. Portanto
Se quiser entender por que: pode-se fazer a mudança linear
que manda o disco unitário
na elipse; o jacobiano dessa transformação tem determinante
, e a área do disco é
, então área da elipse é
.
Passo 8
Substituindo na expressão do Passo 6:
Pequena nota de motivação: deu pouco trabalho porque a diferença das derivadas parciais simplificou para uma constante — é sempre bom olhar para isso numa prova, pode salvar tempo!