5- Calcule a integral de linha \int_{C} e^{x} \operatorname{seny} d x+\left(e^{x} \cos y+3 x\right) d y, onde C é a elipse \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} e^{x}\sin y\,dx + \bigl(e^{x}\cos y + 3x\bigr)\,dy,
onde C é a elipse
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva C é a fronteira da região interior da elipse \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1.
  • O integrando é da forma P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy com P(x,y)=e^{x}\sin y e Q(x,y)=e^{x}\cos y + 3x.
  • A integral é sobre a curva fechada C. (Sempre que isso não é explicitado, trabalha-se com a orientação positiva — isto é, contrária ao relógio.)

Passo 2

Vamos identificar claramente P e Q e verificar propriedades úteis:
P(x,y)=e^{x}\sin y, \qquad Q(x,y)=e^{x}\cos y + 3x.
Explicando: numa integral de linha do tipo \int_C P\,dx + Q\,dy tratamos P como a componente em dx e Q como a componente em dy.

Passo 3

Verificamos se o campo é conservativo (isto pode simplificar se fosse) calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\sin y\bigr)=e^{x}\cos y,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\cos y + 3x\bigr)=e^{x}\cos y + 3.
Como \frac{\partial Q}{\partial x}\neq\frac{\partial P}{\partial y} (diferença é 3), o campo não é conservativo e não podemos simplesmente encontrar uma potencial. Então usaremos outro método.

Passo 4

Apresento agora o teorema que vamos usar: o Teorema de Green (forma planar).
Enunciado prático: se C é a fronteira orientada positivamente de uma região D no plano, e P,Q têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D, então
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Comentário didático: o teorema transforma uma integral de linha fechada numa área dupla sobre a região interna, o que frequentemente simplifica muito quando a expressão do integrando é simples (como acontece aqui).

Passo 5

Aplicamos o integrando do lado direito de Green, usando as derivadas já calculadas:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=(e^{x}\cos y + 3)-e^{x}\cos y = 3.
Observação: isso é ótimo — o integrando da integral dupla é uma constante 3, então a integral dupla fica simplesmente 3 vezes a área da região D limitada pela elipse.

Passo 6

Logo pela aplicação de Green:
\oint_{C} e^{x}\sin y\,dx + \bigl(e^{x}\cos y + 3x\bigr)\,dy = \iint_{D} 3\,dA = 3\cdot \text{Area}(D).
Precisamos então calcular a área da elipse \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1.

Passo 7

Cálculo da área da elipse. Fórmula conhecida: a área de uma elipse com semi-eixos a e b é \pi a b. Aqui a elipse está na forma \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 com a=2 e b=3. Portanto
\text{Area}(D)=\pi a b = \pi\cdot 2\cdot 3 = 6\pi.
Se quiser entender por que: pode-se fazer a mudança linear x=2u,\;y=3v que manda o disco unitário u^{2}+v^{2}\le 1 na elipse; o jacobiano dessa transformação tem determinante 2\cdot 3=6, e a área do disco é \pi, então área da elipse é 6\pi.

Passo 8

Substituindo na expressão do Passo 6:
\oint_{C} e^{x}\sin y\,dx + \bigl(e^{x}\cos y + 3x\bigr)\,dy = 3\cdot (6\pi) = 18\pi.
Pequena nota de motivação: deu pouco trabalho porque a diferença das derivadas parciais simplificou para uma constante — é sempre bom olhar para isso numa prova, pode salvar tempo!

Resposta

18\pi

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