1- Calcule
, onde
é o segmento de reta que vai de
até
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o segmento de reta que vai de
até
. Informações relevantes que temos:
- Os extremos do segmento são
e . - A integral está escrita como
: o integrando envolve as coordenadas e e aparece a variável/diferencial . - A pergunta é calcular o valor numérico dessa integral ao longo do segmento
.
Passo 2
Vamos parametrizar o segmento
. Para um segmento de
a
usamos a interpolação linear. Seja
(ou, como o enunciado usa, podemos escolher o parâmetro
) o parâmetro que varia de
a
. A parametrização por partes é
Calculando
temos
. Assim a parametrização fica
Aqui estamos usando exatamente o parâmetro
que aparece na integral, o que simplifica a substituição.
Passo 3
A partir da parametrização, as funções coordenadas são
Substituímos essas expressões no integrando
. Temos
Como o diferencial da integral no enunciado é
e estamos usando
como parâmetro com intervalo
, a integral de linha se reduz à integral de Riemann unidimensional
Passo 4
Agora calculamos a integral unidimensional
Para integranduros do tipo
é natural usar substituição. Seja
. Então
Substituindo,
Voltando à variável
, uma primitiva é
Passo 5
Aplicamos a primitiva no intervalo
:
Colocando de forma mais bonita,