1- Calcule \int_{C} x e^{s z} d s, onde C é o segmento de reta que vai de A(0,0,0) até B(1,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x e^{s z}\, d s
onde C é o segmento de reta que vai de A(0,0,0) até B(1,1,-1). Informações relevantes que temos:
  • Os extremos do segmento são A=(0,0,0) e B=(1,1,-1).
  • A integral está escrita como \int_{C} x e^{s z}\, d s: o integrando envolve as coordenadas x e z e aparece a variável/diferencial s.
  • A pergunta é calcular o valor numérico dessa integral ao longo do segmento C.

Passo 2

Vamos parametrizar o segmento C. Para um segmento de A a B usamos a interpolação linear. Seja t (ou, como o enunciado usa, podemos escolher o parâmetro \,s) o parâmetro que varia de 0 a 1. A parametrização por partes é
\mathbf{r}(\,s\,)=A + s(B-A).
Calculando B-A temos B-A=(1,1,-1)-(0,0,0)=(1,1,-1). Assim a parametrização fica
\mathbf{r}(\,s\,)=(s,\;s,\;-s),\qquad 0\le s\le 1.
Aqui estamos usando exatamente o parâmetro \,s que aparece na integral, o que simplifica a substituição.

Passo 3

A partir da parametrização, as funções coordenadas são
x(s)=s,\qquad y(s)=s,\qquad z(s)=-s.
Substituímos essas expressões no integrando x e^{s z}. Temos
x(s)\,e^{s\,z(s)} = s \, e^{s\cdot(-s)} = s\, e^{-s^{2}}.
Como o diferencial da integral no enunciado é d s e estamos usando s como parâmetro com intervalo [0,1], a integral de linha se reduz à integral de Riemann unidimensional
\int_{C} x e^{s z}\, d s = \int_{0}^{1} s\, e^{-s^{2}}\, d s.

Passo 4

Agora calculamos a integral unidimensional
\int_{0}^{1} s\, e^{-s^{2}}\, d s.
Para integranduros do tipo s e^{-s^{2}} é natural usar substituição. Seja u=-s^{2}. Então
du = -2s\, ds \quad\Rightarrow\quad s\, ds = -\tfrac{1}{2}\, du.
Substituindo,
\int s\, e^{-s^{2}}\, ds = \int e^{u}\left(-\tfrac{1}{2}\, du\right) = -\tfrac{1}{2} e^{u} + C.
Voltando à variável s, uma primitiva é
-\tfrac{1}{2} e^{-s^{2}} + C.

Passo 5

Aplicamos a primitiva no intervalo [0,1]:
\int_{0}^{1} s\, e^{-s^{2}}\, d s = \left[-\tfrac{1}{2} e^{-s^{2}}\right]_{0}^{1} = -\tfrac{1}{2} e^{-1} -\left(-\tfrac{1}{2} e^{0}\right) = -\tfrac{1}{2e} + \tfrac{1}{2}.
Colocando de forma mais bonita,
\int_{0}^{1} s\, e^{-s^{2}}\, d s = \tfrac{1}{2}\!\left(1 - e^{-1}\right).

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{2}\bigl(1-e^{-1}\bigr)

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