4- Dado o campo vetorial
:
a) Verifique que
é conservativo e calcule um potencial.
b) Calcule
.
, onde
é a interseção de
.
a) Verifique que
b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas:
- (a) Verificar que
é conservativo e calcular um potencial (isto é, uma função tal que ). - (b) Calcular
, onde é a interseção da superfície com o plano .
Informações relevantes do enunciado:
- O campo vetorial
é dado explicitamente pelos três componentes acima. - A curva
é a curva de interseção entre o paraboloide e o plano .
Observação importante (decisão necessária para prosseguir): o enunciado não especifica pontos finais nem orientação de. Para obter um valor numérico usável, vou tomar a interpretação natural: considerar a parte da interseção entre os pontos onde o paraboloide cruza o plano . Esses pontos são obtidos impondo e ; assim os extremos da curva no ramo com são e . Vou calcular a integral ao longo dessa curva orientada do ponto até . Se o professor quisesse outra orientação ou outros extremos, o sinal ou valor mudaria conforme a orientação.
Passo 2
Primeiro vamos verificar que
é conservativo calculando o rotacional (curl). Recordando: para
o rotacional é
Aqui
,
e
. Calculamos cada derivada parcial (vou mostrar e explicar cada uma):
-
. (Derivada de em relação a é ; de é .) -
. (Derivada de em relação a é ; de é .)
Portanto o primeiro componente do rotacional é. -
. (Derivada de por é ; constante some zero.) -
. (Derivada de por é ; é constante.)
Logo o segundo componente do rotacional é. -
. (Derivada de por é ; constante.) -
. (Derivada de por é .)
Então o terceiro componente do rotacional é.
Conclusão:
. Como o domínio aqui é todo
(campo definido por polinômios, domínio simplesmente conexo), a condição
garante que
é conservativo: existe
com
. (Breve explicação: um campo com rotacional nulo em uma região sem “buracos” é gradiente de alguma função; isso é o que usamos na prova/avaliação.)
Passo 3
Agora vamos construir um potencial
com a estratégia padrão: integrar a primeira componente
em relação a
(tratando
como constantes), e depois determinar os termos “faltantes” comparando as outras componentes.
Integramos
em
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
(pois ao integrar em
qualquer função que não dependa de
pode aparecer).
Explicando: a integral de
em
é
porque
. A integral de
é
. O termo
representa qualquer função que desaparece ao derivar em
e, portanto, não aparece quando diferenciamos em
.
Passo 4
Usamos a segunda componente
para achar
. Calculamos
de nossa expressão e igualamos a
:
Mas devemos ter
. Assim
Integramos em relação a
:
onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora usamos a terceira componente
para determinar
. Substituímos
em
e calculamos
:
Então
Devemos ter
. Portanto
Logo
é constante; podemos tomar
(ou qualquer constante, que não altera o gradiente).
Passo 6
Concluímos que um potencial válido é
(Se quiser, poderíamos somar uma constante arbitrária; isso não muda
.) Podemos checar rapidamente:
,
,
. Tudo confere.
Passo 7
Agora resolvemos a parte (b). Como
é conservativo e
é potencial, vale o teorema fundamental das integrais de linha para gradientes: a integral de
ao longo de qualquer curva
de um ponto
até um ponto
é
independente do caminho escolhido (desde que o campo seja definido ao longo do caminho).
Estamos tomando, conforme a decisão feita no Passo 1, que
é a interseção do paraboloide com o plano
na porção compreendida entre as interseções com
. Encontramos os pontos onde ambas as condições ocorrem impondo
e
:
Como
, os pontos extremos são
Vou calcular a integral
tomando a orientação de
para
. (Se a orientação fosse contrária, o resultado teria sinal oposto.)
Passo 8
Avalio o potencial
nos extremos:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Aplicando o teorema fundamental:
Resumo prático: como
é gradiente de
, não precisamos parametrizar a curva nem calcular integrais complicadas — basta avaliar
nos extremos.
Resposta
a)
.\n
b) (para a orientação do ponto
até
).
b)