4- Dado o campo vetorial F(x, y, z)=\left(2 x y z+1, x^{2} z+z, x^{2} y+y\right) :
a) Verifique que F(x, y, z) é conservativo e calcule um potencial.
b) Calcule \int_{C} F. d r, onde C é a interseção de z=4-x^{2}-y^{2} \operatorname{com} x-y=0.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F(x,y,z)=\bigl(2xyz+1,\;x^{2}z+z,\;x^{2}y+y\bigr) e pede duas coisas:
  1. (a) Verificar que F é conservativo e calcular um potencial (isto é, uma função \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=F).
  2. (b) Calcular \displaystyle\int_{C}F\cdot d r, onde C é a interseção da superfície z=4-x^{2}-y^{2} com o plano x-y=0.
Informações relevantes do enunciado:
  • O campo vetorial F é dado explicitamente pelos três componentes acima.
  • A curva C é a curva de interseção entre o paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} e o plano x-y=0.
    Observação importante (decisão necessária para prosseguir): o enunciado não especifica pontos finais nem orientação de C. Para obter um valor numérico usável, vou tomar a interpretação natural: considerar a parte da interseção entre os pontos onde o paraboloide cruza o plano z=0. Esses pontos são obtidos impondo z=0 e x-y=0; assim os extremos da curva no ramo com z\ge0 são \bigl(-\sqrt{2},-\sqrt{2},0\bigr) e \bigl(\sqrt{2},\sqrt{2},0\bigr). Vou calcular a integral ao longo dessa curva orientada do ponto \bigl(-\sqrt{2},-\sqrt{2},0\bigr) até \bigl(\sqrt{2},\sqrt{2},0\bigr). Se o professor quisesse outra orientação ou outros extremos, o sinal ou valor mudaria conforme a orientação.

Passo 2

Primeiro vamos verificar que F é conservativo calculando o rotacional (curl). Recordando: para F=(P,Q,R) o rotacional é
\nabla\times F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Aqui P(x,y,z)=2xyz+1, Q(x,y,z)=x^{2}z+z e R(x,y,z)=x^{2}y+y. Calculamos cada derivada parcial (vou mostrar e explicar cada uma):
  • \displaystyle\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y+y\bigr)=x^{2}+1. (Derivada de x^{2}y em relação a y é x^{2}; de y é 1.)
  • \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}z+z\bigr)=x^{2}+1. (Derivada de x^{2}z em relação a z é x^{2}; de z é 1.)
    Portanto o primeiro componente do rotacional é x^{2}+1-(x^{2}+1)=0.
  • \displaystyle\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(2xyz+1\bigr)=2xy. (Derivada de 2xyz por z é 2xy; constante some zero.)
  • \displaystyle\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y+y\bigr)=2xy. (Derivada de x^{2}y por x é 2xy; y é constante.)
    Logo o segundo componente do rotacional é 2xy-2xy=0.
  • \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}z+z\bigr)=2xz. (Derivada de x^{2}z por x é 2xz; z constante.)
  • \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xyz+1\bigr)=2xz. (Derivada de 2xyz por y é 2xz.)
    Então o terceiro componente do rotacional é 2xz-2xz=0.
Conclusão: \nabla\times F=(0,0,0). Como o domínio aqui é todo \mathbb{R}^{3} (campo definido por polinômios, domínio simplesmente conexo), a condição \nabla\times F=0 garante que F é conservativo: existe \varphi com \nabla\varphi=F. (Breve explicação: um campo com rotacional nulo em uma região sem “buracos” é gradiente de alguma função; isso é o que usamos na prova/avaliação.)

Passo 3

Agora vamos construir um potencial \varphi(x,y,z) com a estratégia padrão: integrar a primeira componente P em relação a x (tratando y,z como constantes), e depois determinar os termos “faltantes” comparando as outras componentes.
Integramos P=2xyz+1 em x:
\varphi(x,y,z)=\int(2xyz+1)\,dx = x^{2}yz + x + g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z (pois ao integrar em x qualquer função que não dependa de x pode aparecer).
Explicando: a integral de 2xyz em x é x^{2}yz porque \frac{d}{dx}(x^{2}yz)=2xyz. A integral de 1 é x. O termo g(y,z) representa qualquer função que desaparece ao derivar em x e, portanto, não aparece quando diferenciamos em x.

Passo 4

Usamos a segunda componente Q para achar g. Calculamos \partial\varphi/\partial y de nossa expressão e igualamos a Q:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}yz+x+g(y,z)\bigr)=x^{2}z + \frac{\partial g}{\partial y}(y,z).
Mas devemos ter \partial\varphi/\partial y=Q=x^{2}z+z. Assim
x^{2}z + \frac{\partial g}{\partial y}(y,z)=x^{2}z+z \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}(y,z)=z.
Integramos em relação a y:
g(y,z)=\int z\,dy = yz + h(z),
onde h(z) é uma função que depende apenas de z.

Passo 5

Agora usamos a terceira componente R para determinar h(z). Substituímos g(y,z)=yz+h(z) em \varphi e calculamos \partial\varphi/\partial z:
\varphi(x,y,z)=x^{2}yz + x + yz + h(z).
Então
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=x^{2}y + y + h'(z).
Devemos ter \partial\varphi/\partial z=R=x^{2}y+y. Portanto
x^{2}y + y + h'(z)=x^{2}y + y \quad\Longrightarrow\quad h'(z)=0.
Logo h(z) é constante; podemos tomar h(z)=0 (ou qualquer constante, que não altera o gradiente).

Passo 6

Concluímos que um potencial válido é
\varphi(x,y,z)=x^{2}yz + x + yz.
(Se quiser, poderíamos somar uma constante arbitrária; isso não muda \nabla\varphi.) Podemos checar rapidamente: \partial\varphi/\partial x=2xyz+1=P, \partial\varphi/\partial y=x^{2}z+z=Q, \partial\varphi/\partial z=x^{2}y+y=R. Tudo confere.

Passo 7

Agora resolvemos a parte (b). Como F é conservativo e \varphi é potencial, vale o teorema fundamental das integrais de linha para gradientes: a integral de F ao longo de qualquer curva C de um ponto A até um ponto B é
\int_{C}F\cdot dr=\varphi(B)-\varphi(A),
independente do caminho escolhido (desde que o campo seja definido ao longo do caminho).
Estamos tomando, conforme a decisão feita no Passo 1, que C é a interseção do paraboloide com o plano x-y=0 na porção compreendida entre as interseções com z=0. Encontramos os pontos onde ambas as condições ocorrem impondo z=0 e x=y:
0=4-x^{2}-y^{2}=4-2x^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}.
Como x=y, os pontos extremos são
A=\bigl(-\sqrt{2},-\sqrt{2},0\bigr)\quad\text{e}\quad B=\bigl(\sqrt{2},\sqrt{2},0\bigr).
Vou calcular a integral \displaystyle\int_{C}F\cdot dr tomando a orientação de A para B. (Se a orientação fosse contrária, o resultado teria sinal oposto.)

Passo 8

Avalio o potencial \varphi nos extremos:
  • Para B=\bigl(\sqrt{2},\sqrt{2},0\bigr):
\varphi(B)=\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2}\cdot\sqrt{2}\cdot 0 + \sqrt{2} + \sqrt{2}\cdot 0 = 0 + \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}.
  • Para A=\bigl(-\sqrt{2},-\sqrt{2},0\bigr):
\varphi(A)=\bigl(-\sqrt{2}\bigr)^{2}\cdot(-\sqrt{2})\cdot 0 + (-\sqrt{2}) + (-\sqrt{2})\cdot 0 = 0 -\sqrt{2} + 0 = -\sqrt{2}.

Passo 9

Aplicando o teorema fundamental:
\int_{C}F\cdot dr=\varphi(B)-\varphi(A)=\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=2\sqrt{2}.
Resumo prático: como F é gradiente de \varphi, não precisamos parametrizar a curva nem calcular integrais complicadas — basta avaliar \varphi nos extremos.

Resposta

a) \varphi(x,y,z)=x^{2}yz + x + yz.\n
b) \displaystyle\int_{C}F\cdot dr=2\sqrt{2} (para a orientação do ponto (-\sqrt{2},-\sqrt{2},0) até (\sqrt{2},\sqrt{2},0)).

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