Calcule a integral de linha
\int_{C} x \sqrt{x^{2}-y^{2}} d s
, em que
C
é a metade direita da lemniscata de Bernoulli
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}-y^{2}
.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}x\sqrt{x^{2}-y^{2}}\;ds
onde C é a metade direita da lemniscata de Bernoulli definida por
\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}=x^{2}-y^{2}.
O que vamos precisar é de uma parametrização conveniente (usamos coordenadas polares adaptadas à lemniscata), o cálculo de ds nessa parametrização e a expressão do integrando em função do parâmetro.

Passo 2

Em coordenadas polares tomamos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta
e, como na lemniscata \bigl(r^{2}\bigr)^{2}=r^{2}\cos2\theta, vem
r^{2}=\cos2\theta,\quad r=\sqrt{\cos2\theta}.
Para a metade direita temos x\ge0, o que corresponde a
-\frac{\pi}{4}\le\theta\le\frac{\pi}{4}.

Passo 3

Calculamos
\frac{dr}{d\theta} =\frac{d}{d\theta}\sqrt{\cos2\theta} =-\frac{\sin2\theta}{\sqrt{\cos2\theta}},
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ds =\sqrt{\Bigl(\frac{dr}{d\theta}\Bigr)^{2}+r^{2}}\;d\theta =\sqrt{\frac{\sin^{2}2\theta}{\cos2\theta}+\cos2\theta}\;d\theta =\frac{d\theta}{\sqrt{\cos2\theta}}.

Passo 4

Na parametrização temos
x=r\cos\theta =\sqrt{\cos2\theta}\,\cos\theta,
e
x^{2}-y^{2} =r^{2}\cos2\theta =\cos2\theta\;\cos2\theta =\cos^{2}2\theta,
então
\sqrt{x^{2}-y^{2}}=\cos2\theta.
O produto x\sqrt{x^{2}-y^{2}} torna-se
\sqrt{\cos2\theta}\,\cos\theta\;\cdot\cos2\theta =\cos\theta\;(\cos2\theta)^{3/2}.
Multiplicando por ds obtemos o integrando em \theta:
\cos\theta\;(\cos2\theta)^{3/2}\;\frac{1}{\sqrt{\cos2\theta}} =\cos\theta\;\cos2\theta.

Passo 5

A integral em \theta fica
\int_{C}x\sqrt{x^{2}-y^{2}}\;ds =\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos\theta\;\cos2\theta\;d\theta.
Usando \cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1 temos
\cos\theta\cos2\theta =2\cos^{3}\theta-\cos\theta,
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\int\cos\theta\cos2\theta\,d\theta =\int\bigl(2\cos^{3}\theta-\cos\theta\bigr)d\theta.

Passo 6

Calculamos as primitivas:
\int\cos\theta\,d\theta=\sin\theta, \qquad \int\cos^{3}\theta\,d\theta =\sin\theta-\frac{\sin^{3}\theta}{3}.
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\int\bigl(2\cos^{3}\theta-\cos\theta\bigr)d\theta =2\Bigl(\sin\theta-\frac{\sin^{3}\theta}{3}\Bigr)-\sin\theta =\sin\theta-\frac{2\sin^{3}\theta}{3}.
Avaliando de -\pi/4 a \pi/4:
em \theta=\pi/4, \sin\theta=\tfrac{\sqrt2}{2}, \sin^{3}\theta=\tfrac{\sqrt2}{4}, dá
\sin\theta-\frac{2\sin^{3}\theta}{3} =\frac{\sqrt2}{2}-\frac{2\cdot(\sqrt2/4)}{3} =\frac{\sqrt2}{2}\Bigl(1-\tfrac13\Bigr) =\frac{\sqrt2}{3}.
Em \theta=-\pi/4 obtém-se -\tfrac{\sqrt2}{3}. A diferença é
\frac{\sqrt2}{3}-\bigl(-\tfrac{\sqrt2}{3}\bigr) =\frac{2\sqrt2}{3}.

Resposta

\frac{2\sqrt2}{3}.

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