Calcule a integral de linha
, em que
é a metade direita da lemniscata de Bernoulli
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
é a metade direita da lemniscata de Bernoulli definida por
O que vamos precisar é de uma parametrização conveniente (usamos coordenadas polares adaptadas à lemniscata), o cálculo de
nessa parametrização e a expressão do integrando em função do parâmetro.
Passo 2
Em coordenadas polares tomamos
e, como na lemniscata
, vem
Para a metade direita temos
, o que corresponde a
Passo 3
Calculamos
logo
Passo 4
Na parametrização temos
e
então
O produto
torna-se
Multiplicando por
obtemos o integrando em
:
Passo 5
A integral em
fica
Usando
temos
logo
Passo 6
Calculamos as primitivas:
Logo
Avaliando de
a
:
em ,
,
, dá
em
Em
obtém-se
. A diferença é