Calcule a integral de linha
\int_{C} y d x+2 x d y
, em que
C
é constituída pelos segmentos de reta, de
(3,0)
a
(0,2)
, de
(0,2)
a
(-3,0)
, de
(-3,0)
a
(0,-2)
, e de
(0,-2)
a
(3,0)
.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C} y\,dx + 2x\,dy
ao longo do caminho fechado C que liga os pontos (3,0)\to(0,2)\to(-3,0)\to(0,-2)\to(3,0).

Passo 2

Como C é um polígono fechado percorrido no sentido anti-horário, podemos usar o Teorema de Green:
\int_{C}P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
com P(x,y)=y e Q(x,y)=2x.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais: \frac{\partial Q}{\partial x}=2 e \frac{\partial P}{\partial y}=1.
Logo, o integrando de Green vale
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2-1=1.

Passo 4

Temos então \displaystyle\int_{C}y\,dx+2x\,dy = \iint_{D}1\,dA,
ou seja, é a área da região D. Essa região é um losango com diagonais nos eixos x e y de comprimentos \!d_{1}=6 (de (3,0) a (-3,0)) e \!d_{2}=4 (de (0,2) a (0,-2)).
A área de um losango é
\frac{d_{1}d_{2}}{2} = \frac{6\times4}{2} = 12.

Resposta

12

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