Calcule a integral de linha
, em que
é a quarta parte do círculo
, situada no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha de função escalar
onde
é a “quarta parte” do círculo obtido na interseção da esfera
com o plano
situal no primeiro octante
. O conteúdo é integral de linha de uma função escalar, e vamos precisar parametrizar
, obter
e substituir
e
.
Passo 2
Como o plano
passa pela origem, a curva
é um grande círculo da esfera. Em coordenadas esféricas standard
o plano
implica
, ou seja
. No primeiro octante temos
variando de
(pólo norte) até
(equador). Logo, podemos usar a parametrização
Passo 3
Calculamos o elemento de comprimento
então
Logo
.
Passo 4
Na parametrização,
Assim a integral fica
Passo 5
Basta integrar:
Portanto