Calcule a integral de linha
\int_{C}(x+y) d s
, em que
C
é a quarta parte do círculo
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, y=x
, situada no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de função escalar
\int_{C}(x+y)\,ds
onde C é a “quarta parte” do círculo obtido na interseção da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
com o plano
y = x
situal no primeiro octante x,y,z\ge0. O conteúdo é integral de linha de uma função escalar, e vamos precisar parametrizar C, obter ds e substituir x e y.

Passo 2

Como o plano y=x passa pela origem, a curva C é um grande círculo da esfera. Em coordenadas esféricas standard
x = \sin\varphi\cos\theta,\quad y = \sin\varphi\sin\theta,\quad z = \cos\varphi,
o plano y=x implica \tan\theta=1, ou seja \theta=\pi/4. No primeiro octante temos \varphi variando de 0 (pólo norte) até \pi/2 (equador). Logo, podemos usar a parametrização
\mathbf r(\varphi)=\bigl(\tfrac{\sin\varphi}{\sqrt2},\,\tfrac{\sin\varphi}{\sqrt2},\,\cos\varphi\bigr), \quad 0\le\varphi\le\tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Calculamos o elemento de comprimento
\mathbf r'(\varphi) =\Bigl(\tfrac{\cos\varphi}{\sqrt2},\,\tfrac{\cos\varphi}{\sqrt2},\,-\sin\varphi\Bigr),
então
\|\mathbf r'(\varphi)\|^2 =\frac{\cos^2\varphi}{2}+\frac{\cos^2\varphi}{2}+\sin^2\varphi =\cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1.
Logo ds=\|\mathbf r'(\varphi)\|\,d\varphi=d\varphi.

Passo 4

Na parametrização,
x+y =\frac{\sin\varphi}{\sqrt2}+\frac{\sin\varphi}{\sqrt2} =\sqrt2\,\sin\varphi.
Assim a integral fica
\int_{C}(x+y)\,ds =\int_{0}^{\pi/2}\sqrt2\,\sin\varphi\,d\varphi.

Passo 5

Basta integrar:
\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi =\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/2} =1.
Portanto
\int_{C}(x+y)\,ds =\sqrt2\cdot1 =\sqrt2.

Resposta

\sqrt2

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