Calcule a integral de linha
\int_{C} \frac{y}{x} d s
, em que
C
é o arco da parábola semicúbica
y^{2}=\frac{4 x^{3}}{9}
que une os pontos
(3,2 \sqrt{3})
e
\left(8, \frac{32 \sqrt{2}}{3}\right))
.

Passo 1

O problema pede calcular a integral de linha
\int_{C}\frac{y}{x}\,ds
onde C é o arco da parábola semicúbica
y^{2}=\frac{4x^{3}}{9}
que vai de \,(3,2\sqrt{3}) até \bigl(8,\tfrac{32\sqrt{2}}{3}\bigr).
O conteúdo é integral de linha de campo escalar, para a qual precisamos de uma parametrização de C, do comprimento de arco ds e da função \tfrac{y}{x} em termos do parâmetro.

Passo 2

Parametrizamos C por
x=t,\quad y=\frac{2}{3}\,t^{3/2},\qquad t\in[3,8],
pois então \bigl(t,\tfrac{2}{3}t^{3/2}\bigr) satisfaz y^{2}=(4/9)t^{3} e em t=3,8 dá exatamente os pontos dados.
Calculamos
r'(t)=\Bigl(1,\;\frac{d}{dt}\bigl(\tfrac{2}{3}t^{3/2}\bigr)\Bigr) =\bigl(1,\;t^{1/2}\bigr),
logo
ds=\bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert\,dt =\sqrt{1+(t^{1/2})^{2}}\;dt =\sqrt{1+t}\;dt.

Passo 3

Substituímos na integral:
\frac{y}{x} =\frac{\tfrac{2}{3}t^{3/2}}{t} =\frac{2}{3}t^{1/2},
então
\int_{C}\frac{y}{x}\,ds =\int_{3}^{8}\frac{2}{3}t^{1/2}\,\sqrt{1+t}\;dt =\frac{2}{3}\int_{3}^{8}t^{1/2}(1+t)^{1/2}\,dt.

Passo 4

Fazemos a mudança de variável
u=1+t,\quad du=dt,
quando t=3\Rightarrow u=4 e t=8\Rightarrow u=9. Além disso t^{1/2}=(u-1)^{1/2}. Assim
\int_{3}^{8}t^{1/2}(1+t)^{1/2}\,dt =\int_{4}^{9}(u-1)^{1/2}\,u^{1/2}\,du =\int_{4}^{9}\sqrt{u(u-1)}\,du.
Portanto a integral original é
\frac{2}{3}\int_{4}^{9}\sqrt{u(u-1)}\,du.

Passo 5

Usamos a primitivação padrão
\int\sqrt{u(u-1)}\,du =\frac12\!\Bigl((u-\tfrac12)\sqrt{u(u-1)}\;-\;\tfrac14\ln\bigl(u-\tfrac12+\sqrt{u(u-1)}\bigr)\Bigr)+C.
Logo, fazendo de u=4 a u=9 e multiplicando por \tfrac{2}{3}, obtemos
\int_{C}\frac{y}{x}\,ds =\frac{1}{3}\Bigl[(u-\tfrac12)\sqrt{u(u-1)}\Bigr]_{4}^{9} -\frac{1}{12}\Bigl[\ln\bigl(u-\tfrac12+\sqrt{u(u-1)}\bigr)\Bigr]_{4}^{9}.
Avaliando em u=9 e u=4 dá, com \sqrt{9\cdot8}=6\sqrt2 e \sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3,
\int_{C}\frac{y}{x}\,ds =17\sqrt2-\frac{7\sqrt3}{3} -\frac{1}{12}\ln\!\Bigl(\frac{17+12\sqrt2}{7+4\sqrt3}\Bigr).

Resposta

17\sqrt2-\frac{7\sqrt3}{3} -\frac{1}{12}\ln\!\Bigl(\frac{17+12\sqrt2}{7+4\sqrt3}\Bigr).

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