Calcule a integral de linha \int_{c} x y d x+y^{2} d y so longo do arco:
C:\left\{(x, y)\right. tal que y=x^{2} e 0 \leq x \leq 1.

Passo 1

O problema pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x y\,dx + y^{2}\,dy
ao longo do arco C definido por y=x^{2} com 0 \leq x \leq 1.
Informações dadas:
  • A forma diferencial é P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy com P(x,y)=xy e Q(x,y)=y^{2}.
  • A curva C é o arco da parábola dado por y=x^{2} para x variando de 0 até 1.
  • A orientação implícita é no sentido crescente de x (de 0 para 1).
  • A pergunta é: qual é o valor numérico da integral de linha acima?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos aplicar (mini-aula rápida e prática).
Para calcular uma integral de linha da forma
\int_{C} P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy
usamos uma parametrização da curva C por uma variável t. Se a parametrização é
x=x(t),\qquad y=y(t),\qquad t\in[a,b],
então dx = x'(t)\,dt e dy = y'(t)\,dt e a integral vira uma integral em t:
\int_{C} P\,dx + Q\,dy = \int_{a}^{b} \big(P(x(t),y(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,dt.
Explicando cada peça:
  • P(x(t),y(t)) e Q(x(t),y(t)) são as funções P e Q avaliadas ao longo da curva.
  • x'(t) e y'(t) são as derivadas (velocidades) da parametrização.
  • Integramos no intervalo de parâmetro [a,b] correspondente ao trecho da curva.

Passo 3

Escolha de parametrização (por que e qual):
A curva é y=x^{2} com 0\le x\le1. A escolha natural é parametrizar por x mesmo, usando t como x.
Escolhemos
x(t)=t,\qquad y(t)=t^{2},\qquad t\in[0,1].
Isso cobre exatamente o arco pedido e segue a orientação x crescente.
Calculemos as derivadas:
x'(t)=\frac{dx}{dt}=1,\qquad y'(t)=\frac{dy}{dt}=2t.

Passo 4

Avaliar P e Q ao longo da parametrização e montar o integrando.
Temos P(x,y)=xy e Q(x,y)=y^{2}. Substituindo x(t) e y(t):
P(x(t),y(t)) = t\cdot t^{2} = t^{3},
Q(x(t),y(t)) = (t^{2})^{2} = t^{4}.
Agora montamos o integrando pela fórmula do Passo 2:
P(x(t),y(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t))\,y'(t) = t^{3}\cdot 1 + t^{4}\cdot(2t) = t^{3} + 2t^{5}.
Portanto a integral de linha fica
\int_{C} x y\,dx + y^{2}\,dy = \int_{0}^{1} \big(t^{3} + 2t^{5}\big)\,dt.

Passo 5

Calcular a integral em t passo a passo (sem pular contas).
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1} t^{3}\,dt = \left[\frac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4},
\int_{0}^{1} 2t^{5}\,dt = 2\left[\frac{t^{6}}{6}\right]_{0}^{1} = 2\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{3}.
Somando as duas partes:
\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}.

Passo 6

Verificação rápida e comentário final (pequena lição extra).
  • Conferindo: a parametrização e as derivações estão corretas; a substituição foi direta; a integração é elementar. Resultado plausível.
  • Observação útil para a prova: antes de tentar achar uma primitiva “global” verifique se o campo (P,Q) é conservativo (ou seja, se existe F tal que \nabla F=(P,Q)). Aqui \partial P/\partial y = x e \partial Q/\partial x = 0, não são iguais, então não é conservativo — portanto a parametrização é o caminho mais direto, como fizemos.
Força aí, você já tem a técnica: parametriza a curva, calcula x',y', substitui em P\,x'+Q\,y' e integra no intervalo do parâmetro. Dá pra fazer rápido na prova com prática!

Resposta

\displaystyle \frac{7}{12}

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