Calcule a integral de linha
so longo do arco:
tal que
e
.
Passo 1
O problema pede para calcular a integral de linha
ao longo do arco
definido por
com
.
Informações dadas:
- A forma diferencial é
com e . - A curva
é o arco da parábola dado por para variando de até . - A orientação implícita é no sentido crescente de
(de para ). - A pergunta é: qual é o valor numérico da integral de linha acima?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos aplicar (mini-aula rápida e prática).
Para calcular uma integral de linha da forma
usamos uma parametrização da curva
por uma variável
. Se a parametrização é
então
e
e a integral vira uma integral em
:
Explicando cada peça:
-
e são as funções e avaliadas ao longo da curva. -
e são as derivadas (velocidades) da parametrização. - Integramos no intervalo de parâmetro
correspondente ao trecho da curva.
Passo 3
Escolha de parametrização (por que e qual):
A curva é com
. A escolha natural é parametrizar por
mesmo, usando
como
.
A curva é
Escolhemos
Isso cobre exatamente o arco pedido e segue a orientação
crescente.
Calculemos as derivadas:
Passo 4
Avaliar
e
ao longo da parametrização e montar o integrando.
Temos
e
. Substituindo
e
:
Agora montamos o integrando pela fórmula do Passo 2:
Portanto a integral de linha fica
Passo 5
Calcular a integral em
passo a passo (sem pular contas).
Integramos termo a termo:
Somando as duas partes:
Passo 6
Verificação rápida e comentário final (pequena lição extra).
- Conferindo: a parametrização e as derivações estão corretas; a substituição foi direta; a integração é elementar. Resultado plausível.
- Observação útil para a prova: antes de tentar achar uma primitiva “global” verifique se o campo
é conservativo (ou seja, se existe tal que ). Aqui e , não são iguais, então não é conservativo — portanto a parametrização é o caminho mais direto, como fizemos.
Força aí, você já tem a técnica: parametriza a curva, calcula
, substitui em
e integra no intervalo do parâmetro. Dá pra fazer rápido na prova com prática!