Encontre uma solução particular para a equação diferencial dada, utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
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Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede explicitamente que eu encontre uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A equação é linear, com coeficientes constantes, e termo não-homogêneo
. - Preciso apenas de uma solução particular
(não é pedido resolver a solução geral, só a particular).
Passo 2
Primeiro passo útil: analisar a equação homogênea associada (só para ver se há ressonância com o termo forçante). A equação homogênea é
Formo a equação característica substituindo
por
:
Agora resolvo essa equação quadrática. Ela fatoriza como
portanto as raízes são
e
.
Observação importante: o expoente do termo forçante é (pois temos
). Como
não é raiz da característica, não há ressonância — isto é, a forma ansatz simples com
servirá.
Observação importante: o expoente do termo forçante é
Passo 3
Explicando o método dos coeficientes indeterminados de forma prática: quando o termo não-homogêneo é uma função do tipo exponencial
(aqui
é uma constante e
), tentamos uma solução particular com a mesma forma multiplicada por uma constante ou polinômio desconhecido. Como não há ressonância (isto é,
não é raiz da característica), escolhemos o ansatz mais simples:
onde
é uma constante desconhecida a determinar. Se
fosse raiz da característica de multiplicidade
, multiplicaríamos por
, mas aqui não é o caso.
Passo 4
Calculo as derivadas de
para substituir na equação:
Eu mostrei passo a passo: derivada de
é
, e derivando novamente dá
.
Passo 5
Substituo
,
e
na equação diferencial:
Coloco todos os termos juntos (fatorando
):
Isso deve ser igual ao lado direito
. Como
é nunca nulo, posso cancelar
em ambos os lados, obtendo a equação algébrica
Resolve-se para
:
Passo 6
Concluo qual é a solução particular usando o valor encontrado de
. Substituindo de volta:
Posso fazer uma verificação rápida mental: se eu colocar
na expressão de antes, o lado esquerdo dá
, que é exatamente o lado direito — então está correto. Força total resolvida!