Encontre uma solução particular para a equação diferencial dada, utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=10 e^{3 t};

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=10e^{3t},
e pede explicitamente que eu encontre uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.
Informações relevantes dadas:
  • A equação é linear, com coeficientes constantes, e termo não-homogêneo 10e^{3t}.
  • Preciso apenas de uma solução particular y_p(t) (não é pedido resolver a solução geral, só a particular).

Passo 2

Primeiro passo útil: analisar a equação homogênea associada (só para ver se há ressonância com o termo forçante). A equação homogênea é
y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=0.
Formo a equação característica substituindo y por e^{rt}:
r^2+3r+2=0.
Agora resolvo essa equação quadrática. Ela fatoriza como
r^2+3r+2=(r+1)(r+2)=0,
portanto as raízes são r=-1 e r=-2.
Observação importante: o expoente do termo forçante é 3 (pois temos e^{3t}). Como r=3 não é raiz da característica, não há ressonância — isto é, a forma ansatz simples com e^{3t} servirá.

Passo 3

Explicando o método dos coeficientes indeterminados de forma prática: quando o termo não-homogêneo é uma função do tipo exponencial P(t)e^{\alpha t} (aqui P(t) é uma constante e \alpha=3), tentamos uma solução particular com a mesma forma multiplicada por uma constante ou polinômio desconhecido. Como não há ressonância (isto é, \alpha=3 não é raiz da característica), escolhemos o ansatz mais simples:
y_p(t)=A e^{3t},
onde A é uma constante desconhecida a determinar. Se \alpha fosse raiz da característica de multiplicidade s, multiplicaríamos por t^s, mas aqui não é o caso.

Passo 4

Calculo as derivadas de y_p para substituir na equação:
y_p(t)=A e^{3t},
y_p^{\prime}(t)=3A e^{3t},
y_p^{\prime\prime}(t)=9A e^{3t}.
Eu mostrei passo a passo: derivada de e^{3t} é 3e^{3t}, e derivando novamente dá 3\cdot3e^{3t}=9e^{3t}.

Passo 5

Substituo y_p, y_p^{\prime} e y_p^{\prime\prime} na equação diferencial:
y_p^{\prime\prime}+3y_p^{\prime}+2y_p=(9A)e^{3t}+3(3A)e^{3t}+2(A)e^{3t}.
Coloco todos os termos juntos (fatorando e^{3t}):
(9A+9A+2A)e^{3t}=(20A)e^{3t}.
Isso deve ser igual ao lado direito 10e^{3t}. Como e^{3t} é nunca nulo, posso cancelar e^{3t} em ambos os lados, obtendo a equação algébrica
20A=10.
Resolve-se para A:
A=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Concluo qual é a solução particular usando o valor encontrado de A. Substituindo de volta:
y_p(t)=\frac{1}{2}e^{3t}.
Posso fazer uma verificação rápida mental: se eu colocar A=\tfrac{1}{2} na expressão de antes, o lado esquerdo dá 20\cdot\tfrac{1}{2}e^{3t}=10e^{3t}, que é exatamente o lado direito — então está correto. Força total resolvida!

Resposta

y_p(t)=\dfrac{1}{2}e^{3t}

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