Calcule a integral de linha
so longo do arco:
é a parte da elipse no plano determinada pelas equaçöes:
,
,
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo do arco
determinado pelas parametrizações
com
.
Informações relevantes fornecidas:
- A curva
está parametrizada por e acima. - O intervalo do parâmetro é de
até . - A integranda é
multiplicando mais multiplicando . - O resultado esperado é uma expressão em função de
(pois o limite inferior é ).
Passo 2
Fórmula de parametrização para integrar uma forma linear
:
Se uma curva
é dada por
e
para
, então
Explicação rápida:
e
; substituímos
por expressões em
e integramos em
.
Passo 3
Calcular as derivadas
e
.
Dadas
temos
Aqui usei a regra básica de derivação das funções seno e cosseno:
e
.
Passo 4
Substituir
na expressão da integral.
Primeiro, calcular
com
:
Fazendo as multiplicações passo a passo:
Agora calcular
com
:
Passo a passo:
Passo 5
Somar as duas contribuições para obter o integrando em
:
Fatorando
:
Logo a integral transforma-se em
Passo 6
Resolver a integral por substituição simples.
Faça a substituição
. Então
.
Quando
,
. Quando
,
.
A integral torna-se
pois
e
.
Passo 7
Calcular a integral em
:
Simplificando o fator
:
portanto o valor final é