Calcule a integral de linha \int_{c} x y d x+y^{2} d y so longo do arco:
C é a parte da elipse no plano determinada pelas equaçöes: x=2 \cos (t), y=5 \operatorname{sen}(t), \operatorname{com} \theta \leq t \leq \frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x y\,dx + y^{2}\,dy
ao longo do arco C determinado pelas parametrizações
x(t)=2\cos(t),\qquad y(t)=5\sin(t),
com \theta \le t \le \dfrac{\pi}{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva C está parametrizada por x(t) e y(t) acima.
  • O intervalo do parâmetro é de t=\theta até t=\dfrac{\pi}{2}.
  • A integranda é P(x,y)=xy multiplicando dx mais Q(x,y)=y^{2} multiplicando dy.
  • O resultado esperado é uma expressão em função de \theta (pois o limite inferior é \theta).

Passo 2

Fórmula de parametrização para integrar uma forma linear P\,dx+Q\,dy:
Se uma curva C é dada por x=x(t) e y=y(t) para t\in[a,b], então
\int_{C} P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy = \int_{a}^{b} \bigl(P(x(t),y(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t))\,y'(t)\bigr)\,dt.
Explicação rápida: dx = x'(t)\,dt e dy = y'(t)\,dt; substituímos x,y,dx,dy por expressões em t e integramos em t.

Passo 3

Calcular as derivadas x'(t) e y'(t).
Dadas
x(t)=2\cos(t),\qquad y(t)=5\sin(t),
temos
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2\cos t\bigr) = -2\sin t,
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(5\sin t\bigr) = 5\cos t.
Aqui usei a regra básica de derivação das funções seno e cosseno: \dfrac{d}{dt}\cos t = -\sin t e \dfrac{d}{dt}\sin t = \cos t.

Passo 4

Substituir x(t),y(t),x'(t),y'(t) na expressão da integral.
Primeiro, calcular P(x(t),y(t))\,x'(t) com P(x,y)=xy:
P(x(t),y(t))\,x'(t) = \bigl(x(t)\,y(t)\bigr)\,x'(t) = \bigl(2\cos t \cdot 5\sin t\bigr)\cdot(-2\sin t).
Fazendo as multiplicações passo a passo:
2\cos t \cdot 5\sin t = 10\cos t\sin t,
10\cos t\sin t \cdot(-2\sin t) = -20\cos t \sin^{2} t.
Agora calcular Q(x(t),y(t))\,y'(t) com Q(x,y)=y^{2}:
Q(x(t),y(t))\,y'(t) = \bigl(y(t)^2\bigr)\,y'(t) = \bigl(5\sin t\bigr)^{2}\cdot (5\cos t).
Passo a passo:
(5\sin t)^{2} = 25\sin^{2} t,
25\sin^{2} t \cdot 5\cos t = 125\sin^{2} t\cos t.

Passo 5

Somar as duas contribuições para obter o integrando em t:
P(x(t),y(t))x'(t) + Q(x(t),y(t))y'(t) = -20\cos t \sin^{2} t + 125\sin^{2} t\cos t.
Fatorando \sin^{2} t\cos t:
= ( -20 + 125 )\,\sin^{2} t\cos t = 105\,\sin^{2} t\cos t.
Logo a integral transforma-se em
\int_{\theta}^{\pi/2} 105\,\sin^{2} t\cos t\,dt.

Passo 6

Resolver a integral por substituição simples.
Faça a substituição u=\sin t. Então du=\cos t\,dt.
Quando t=\theta, u=\sin\theta. Quando t=\dfrac{\pi}{2}, u=\sin\bigl(\dfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
A integral torna-se
105\int_{t=\theta}^{t=\pi/2} \sin^{2} t\cos t\,dt = 105\int_{u=\sin\theta}^{u=1} u^{2}\,du,
pois \sin^{2} t = u^{2} e \cos t\,dt = du.

Passo 7

Calcular a integral em u:
105\int_{\sin\theta}^{1} u^{2}\,du = 105\left[ \frac{u^{3}}{3} \right]_{u=\sin\theta}^{u=1} = 105\cdot\frac{1^{3}-\sin^{3}\theta}{3}.
Simplificando o fator 105/3:
\frac{105}{3} = 35,
portanto o valor final é
35\bigl(1-\sin^{3}\theta\bigr).

Resposta

\displaystyle 35\bigl(1-\sin^{3}\theta\bigr)

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