Encontre uma solução particular para a equação diferencial dada, utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=3 t+10 e^{3 t}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • A equação diferencial é y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=3t+10e^{3t}.
  • O pedido é: encontrar uma solução particular (ou seja, apenas uma solução particular y_p(t)) usando o método dos coeficientes indeterminados.
  • Informações úteis extraídas do enunciado:
    • O lado direito (forçamento) é a soma de duas funções: um polinômio 3t (grau 1) e uma exponencial 10e^{3t}.
    • A equação é linear, de coeficientes constantes, de segunda ordem.

Passo 2

Por que usar o método dos coeficientes indeterminados e qual forma escolher:
  • O método dos coeficientes indeterminados é apropriado quando o termo forçante (lado direito) é soma de funções simples como polinômios, exponenciais, senos e cossenos. A ideia é “chutar” uma forma para y_p parecida com o forçamento, com constantes desconhecidas, e determinar essas constantes substituindo na equação.
  • Regras práticas (resumo):
    • Para um polinômio de grau n tentamos um polinômio de grau n com coeficientes indeterminados.
    • Para Ae^{rt} tentamos Ce^{rt}, salvo se r for raiz do polinômio característico da equação homogênea; nesse caso multiplicamos por potências de t.
  • Vamos checar possível ressonância (se precisamos multiplicar por t):
    • O polinômio característico da parte homogênea é r^2+3r+2=(r+1)(r+2).
    • Para a parte exponencial temos r=3. Avaliando o polinômio característico em r=3 obtemos 3^2+3\cdot3+2=9+9+2=20\neq0. Logo r=3 não é raiz; não há ressonância para e^{3t}.
    • Para a parte polinomial isso equivale a verificar r=0: 0^2+3\cdot0+2=2\neq0, então também não há ressonância para termos polinomiais. Assim podemos tomar as formas padrão:
      • Para 3t (grau 1) a tentativa será um polinômio de grau 1: \displaystyle y_{p1}(t)=at+b.
      • Para 10e^{3t} a tentativa será \displaystyle y_{p2}(t)=Ce^{3t}.

Passo 3

Resolver a parte polinomial: determinar a e b para y_{p1}(t)=at+b.
  • Calcule as derivadas: y_{p1}'(t)=a,\qquad y_{p1}''(t)=0.
  • Substituindo na equação diferencial, apenas para a parte polinomial (isto é, igualando ao 3t): y_{p1}''+3y_{p1}'+2y_{p1}=0 + 3a + 2(at+b).Colocando em forma polinomial: 2a\,t + (3a + 2b).
  • Este resultado deve ser igual ao termo polinomial do lado direito, que é 3t. Igualamos coeficientes de potências de t:
    • Coeficiente de t: 2a=3 \implies a=\frac{3}{2}.
    • Coeficiente constante: 3a+2b=0. Substituindo a=\frac{3}{2}: 3\cdot\frac{3}{2}+2b=0 \implies \frac{9}{2}+2b=0 \implies 2b=-\frac{9}{2}\implies b=-\frac{9}{4}.
  • Portanto a solução particular para a parte polinomial é \displaystyle y_{p1}(t)=\frac{3}{2}t-\frac{9}{4}.

Passo 4

Resolver a parte exponencial: determinar C para y_{p2}(t)=Ce^{3t}.
  • Calcule as derivadas: y_{p2}'(t)=3Ce^{3t},\qquad y_{p2}''(t)=9Ce^{3t}.
  • Substituindo na equação diferencial, mantendo só a parte que se relaciona com e^{3t}: y_{p2}''+3y_{p2}'+2y_{p2}=(9C+3\cdot 3C+2C)e^{3t}.Simplificando os coeficientes: (9C+9C+2C)e^{3t}=(20C)e^{3t}.
  • Esse termo deve igualar o termo exponencial do lado direito, que é 10e^{3t}. Logo: 20C=10 \implies C=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}.
  • Assim a solução particular para a parte exponencial é \displaystyle y_{p2}(t)=\frac{1}{2}e^{3t}.

Passo 5

Combinar as partes (sem repetir a resposta final, apenas indicar a composição) e checar rapidamente:
  • A solução particular total é a soma das contribuições das duas partes encontradas: a parte polinomial y_{p1}(t)=\dfrac{3}{2}t-\dfrac{9}{4} e a parte exponencial y_{p2}(t)=\dfrac{1}{2}e^{3t}.
  • Uma verificação rápida (opcional) consiste em aplicar o operador diferencial D^2+3D+2 a cada parcela e conferir que se obtém 3t da primeira parcela e 10e^{3t} da segunda; somando, recuperamos o lado direito. As contas foram feitas passo a passo nos passos anteriores.

Resposta

y_p(t)=\dfrac{3}{2}t-\dfrac{9}{4}+\dfrac{1}{2}e^{3t}

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