Encontre uma solução particular para a equação diferencial dada, utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- A equação diferencial é
- O pedido é: encontrar uma solução particular (ou seja, apenas uma solução particular
) usando o método dos coeficientes indeterminados. - Informações úteis extraídas do enunciado:
- O lado direito (forçamento) é a soma de duas funções: um polinômio
(grau 1) e uma exponencial . - A equação é linear, de coeficientes constantes, de segunda ordem.
- O lado direito (forçamento) é a soma de duas funções: um polinômio
Passo 2
Por que usar o método dos coeficientes indeterminados e qual forma escolher:
- O método dos coeficientes indeterminados é apropriado quando o termo forçante (lado direito) é soma de funções simples como polinômios, exponenciais, senos e cossenos. A ideia é “chutar” uma forma para
parecida com o forçamento, com constantes desconhecidas, e determinar essas constantes substituindo na equação. - Regras práticas (resumo):
- Para um polinômio de grau
tentamos um polinômio de grau com coeficientes indeterminados. - Para
tentamos , salvo se for raiz do polinômio característico da equação homogênea; nesse caso multiplicamos por potências de .
- Para um polinômio de grau
- Vamos checar possível ressonância (se precisamos multiplicar por
): - O polinômio característico da parte homogênea é
- Para a parte exponencial temos
. Avaliando o polinômio característico em obtemos Logo não é raiz; não há ressonância para . - Para a parte polinomial isso equivale a verificar
: então também não há ressonância para termos polinomiais. Assim podemos tomar as formas padrão: - Para
(grau 1) a tentativa será um polinômio de grau 1: . - Para
a tentativa será .
- Para
- O polinômio característico da parte homogênea é
Passo 3
Resolver a parte polinomial: determinar
e
para
.
- Calcule as derivadas:
- Substituindo na equação diferencial, apenas para a parte polinomial (isto é, igualando ao
): Colocando em forma polinomial: - Este resultado deve ser igual ao termo polinomial do lado direito, que é
. Igualamos coeficientes de potências de : - Coeficiente de
: - Coeficiente constante:
Substituindo :
- Coeficiente de
- Portanto a solução particular para a parte polinomial é
Passo 4
Resolver a parte exponencial: determinar
para
.
- Calcule as derivadas:
- Substituindo na equação diferencial, mantendo só a parte que se relaciona com
: Simplificando os coeficientes: - Esse termo deve igualar o termo exponencial do lado direito, que é
. Logo: - Assim a solução particular para a parte exponencial é
Passo 5
Combinar as partes (sem repetir a resposta final, apenas indicar a composição) e checar rapidamente:
- A solução particular total é a soma das contribuições das duas partes encontradas: a parte polinomial
e a parte exponencial . - Uma verificação rápida (opcional) consiste em aplicar o operador diferencial
a cada parcela e conferir que se obtém da primeira parcela e da segunda; somando, recuperamos o lado direito. As contas foram feitas passo a passo nos passos anteriores.