Excreva a integral \int_{C} x^{4} d x+r y d y como uma integral dupla, usando o Teorema de Green, onde C é a curva triangular formada pelos segmentos de reta ligando (0,0) a (2,0), de (2,0) a (0,4) e de (0,4) a $(0,0).

Passo 1

O enunciado pede para escrever a integral de linha
\int_{C} x^{4}\,dx + r\,y\,dy
como uma integral dupla, usando o Teorema de Green. As informações dadas são:
  • A curva C é o triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (0,4), percorrido na ordem (0,0)\to(2,0)\to(0,4)\to(0,0).
  • A integranda está na forma P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy com P(x,y)=x^{4} e Q(x,y)=r\,y. Aqui vou tratar r como uma constante (pois o enunciado apresentou r sem depender de x ou y).
  • O objetivo: aplicar o Teorema de Green para converter a integral de linha sobre C numa integral dupla sobre a região D interior ao triângulo.

Passo 2

Enunciando o Teorema de Green (em forma prática que usaremos):
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA,
onde:
  • C é a fronteira orientada positivamente (contrariamente ao sentido horário — isto é, no sentido anti-horário); a orientação dada no enunciado é (0,0)\to(2,0)\to(0,4)\to(0,0). Vou verificar que essa ordem é realmente positiva: o polígono (0,0),(2,0),(0,4) tem área positiva (fórmula do polígono dá área 4), então a orientação é anti-horária e podemos aplicar o teorema sem trocar sinais.
  • D é a região interna ao triângulo (o domínio de integração dupla).
    Explicando as derivadas parciais usadas:
  • \frac{\partial Q}{\partial x} significa derivar Q(x,y) em relação a x tratando y como constante.
  • \frac{\partial P}{\partial y} significa derivar P(x,y) em relação a y tratando x como constante.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais para P(x,y)=x^{4} e Q(x,y)=r\,y:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(r\,y)=0
(porque r\,y não depende de x, r é constante e y é tratado como constante ao derivar em x);
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^{4})=0
(porque x^{4} não depende de y).
Portanto o integrando do teorema é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0-0=0.

Passo 4

Precisamos também descrever a região D triangular para escrever a integral dupla em forma iterada. A aresta oblíqua liga (2,0) a (0,4). A equação da reta que passa por esses pontos é obtida por declive:
\text{declive} = \frac{4-0}{0-2}=-2,
e usando ponto (2,0) obtemos
y = -2x + 4.
Logo a região D pode ser descrita como
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\; 0\le y\le -2x+4\}.
(ou, trocando a ordem, 0\le y\le 4 e 0\le x\le (4-y)/2.)

Passo 5

Aplicando o Teorema de Green e substituindo o integrando nulo, obtemos a integral dupla:
\iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA = \iint_{D} 0\,dA.
Escrevendo em forma iterada com os limites encontrados:
\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{-2x+4} 0\,dy\,dx.
Como o integrando é 0, a integral vale 0.

Resposta

\int_{C} x^{4}\,dx + r\,y\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial (r\,y)}{\partial x}-\frac{\partial (x^{4})}{\partial y}\right)\,dA = \iint_{D} 0\,dA = \int_{0}^{2}\int_{0}^{-2x+4} 0\,dy\,dx = 0

Exercícios relacionados