Excreva a integral
como uma integral dupla, usando o Teorema de Green, onde
é a curva triangular formada pelos segmentos de reta ligando
a
, de
a
e de
a $(0,0).
Passo 1
O enunciado pede para escrever a integral de linha
como uma integral dupla, usando o Teorema de Green. As informações dadas são:
- A curva
é o triângulo com vértices , e , percorrido na ordem . - A integranda está na forma
com e . Aqui vou tratar como uma constante (pois o enunciado apresentou sem depender de ou ). - O objetivo: aplicar o Teorema de Green para converter a integral de linha sobre
numa integral dupla sobre a região interior ao triângulo.
Passo 2
Enunciando o Teorema de Green (em forma prática que usaremos):
onde:
-
é a fronteira orientada positivamente (contrariamente ao sentido horário — isto é, no sentido anti-horário); a orientação dada no enunciado é . Vou verificar que essa ordem é realmente positiva: o polígono tem área positiva (fórmula do polígono dá área ), então a orientação é anti-horária e podemos aplicar o teorema sem trocar sinais. -
é a região interna ao triângulo (o domínio de integração dupla).
Explicando as derivadas parciais usadas: -
significa derivar em relação a tratando como constante. -
significa derivar em relação a tratando como constante.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais para
e
:
(porque
não depende de
,
é constante e
é tratado como constante ao derivar em
);
(porque
não depende de
).
Portanto o integrando do teorema é
Passo 4
Precisamos também descrever a região
triangular para escrever a integral dupla em forma iterada. A aresta oblíqua liga
a
. A equação da reta que passa por esses pontos é obtida por declive:
e usando ponto
obtemos
Logo a região
pode ser descrita como
(ou, trocando a ordem,
e
.)
Passo 5
Aplicando o Teorema de Green e substituindo o integrando nulo, obtemos a integral dupla:
Escrevendo em forma iterada com os limites encontrados:
Como o integrando é
, a integral vale
.