A todo complexo z , associamos o complexo Z definido por :
Z=i z^{2}-(1+i) z+1
2- Definimos z=x+i y em que x e y são reais. Determinar o conjunto E dos pontos M de afixo z tais que Z é real. Representar E num sistema de coordenadas ortonormal ( O, \vec{u}, \vec{v} ).

Passo 1

O enunciado define a aplicação do plano complexo em si mesmo por
Z = i\,z^{2} \;-\;(1+i)\,z \;+\;1
e diz que z=x+i y com x,y\in\mathbb{R}. Queremos determinar o lugar geométrico E dos pontos M(x,y) tais que Z é real, ou seja,
\Im(Z)=0.

Passo 2

Calcular Z em função de x e y. Primeiro
z^{2}=(x+i y)^{2}=x^{2}-y^{2}+2i x y,
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i\,z^{2}=i(x^{2}-y^{2})+i\,(2i x y)=-2x y \;+\;i\,(x^{2}-y^{2}).
Também
-(1+i)\,z=-(1+i)(x+i y)=(-x+y)\;+\;i\,(-x -y)
e sobra o +1. Somando tudo, obtemos
Z=\bigl[-2xy -x +y +1\bigr]\;+\;i\bigl[x^{2}-y^{2}-x -y\bigr].

Passo 3

Analisar a parte imaginária de Z. Denotando-a por \Im(Z), temos
\Im(Z)=x^{2}-y^{2}-x -y.
Para Z ser real impomos
x^{2}-y^{2}-x -y = 0.

Passo 4

Reescrever essa equação completando quadrados:
x^{2}-x = (x-\tfrac12)^{2}-\tfrac14, \quad y^{2}+y = (y+\tfrac12)^{2}-\tfrac14.
Assim
x^{2}-y^{2}-x -y =\bigl((x-\tfrac12)^{2}-\tfrac14\bigr) -\bigl((y+\tfrac12)^{2}-\tfrac14\bigr) =(x-\tfrac12)^{2}-(y+\tfrac12)^{2}.
A condição \Im(Z)=0 vira
(x-\tfrac12)^{2}-(y+\tfrac12)^{2}=0.

Passo 5

Fatorando a diferença de quadrados:
(x-\tfrac12 - (y+\tfrac12))\,(x-\tfrac12 + (y+\tfrac12))=0
isto é
\bigl(x-y-1\bigr)\,(x+y)=0.
Logo o lugar geométrico E é a união de duas retas no plano (O,\vec u,\vec v):
y = x -1 \quad\text{e}\quad y = -\,x.

Resposta

O conjunto E dos pontos M(x,y) tais que Z é real é dado por
E=\{(x,y)\mid y = x-1\}\;\cup\;\{(x,y)\mid y = -x\}.
No sistema ortonormal (O,\vec u,\vec v), são duas retas de coeficientes angulares 1 e -1, interceptando-se em \bigl(\tfrac12,-\tfrac12\bigr).

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