Calcule a integral de linha
\int_{D}(x-y) d x+x d y
onde D a região delimitada por x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{D}(x-y)\,dx + x\,dy
ao longo da curva fechada que delimita a região D dada pelo círculo x^{2}+y^{2}=4. Isso envolve integrais de linha em curvas fechadas e o uso do Teorema de Green.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, para uma curva fechada positivamente orientada e funções P(x,y) e Q(x,y), vale
\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Aqui P(x,y)=x-y e Q(x,y)=x.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x-y) = -1.
Logo,
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.

Passo 4

Substituindo em Green, a integral vira
\iint_D 2\,dA = 2 \iint_D dA = 2 \times \bigl(\text{área de }D\bigr).á
Como D é o disco de raio 2, sua área é \pi \cdot 2^2 = 4\pi. Então
2 \times 4\pi = 8\pi.

Resposta

8\pi

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