Resolva o PVI:
\frac{d y}{d x}=\frac{e^{x^{2}}+x}{y^{2} e^{3^{3}}}, \operatorname{com} y(0)=1 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{x^{2}}+x}{y^{2}e^{3^{3}}},\quad y(0)=1.
O conteúdo é equação diferencial separável: vamos separar variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando em cruz:
y^{2}\,dy = \frac{e^{x^{2}}+x}{e^{3^{3}}}\,dx
como e^{3^{3}}=e^{27}, isso fica
y^{2}\,dy = e^{-27}\bigl(e^{x^{2}}+x\bigr)\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y^{2}\,dy = \int e^{-27}\bigl(e^{x^{2}}+x\bigr)\,dx.
No lado esquerdo
\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3} + C.
No lado direito
\int e^{-27}e^{x^{2}}\,dx = e^{-27}\int e^{x^{2}}\,dx =\frac{e^{-27}\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erfi}(x)
e
\int e^{-27}x\,dx = e^{-27}\,\frac{x^{2}}{2}.
Portanto
\frac{y^{3}}{3} = \frac{e^{-27}\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erfi}(x) + e^{-27}\,\frac{x^{2}}{2} + C.

Passo 4

Multiplicando por 3 e agrupando constantes, obtemos
y^{3} = 3\biggl(\frac{e^{-27}\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erfi}(x) + e^{-27}\,\frac{x^{2}}{2}\biggr) + C_{1}.
Para x=0 e y(0)=1 temos \mathrm{erfi}(0)=0, logo
1^{3} = 3\Bigl(0 + 0\Bigr) + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=1.

Passo 5

Substituindo C_{1}=1 e isolando y,
y^{3} = 1 + \frac{3}{e^{27}}\biggl(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erfi}(x) + \frac{x^{2}}{2}\biggr),
y(x) = \Biggl[\,1 + \frac{3}{e^{27}}\Bigl(\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erfi}(x) + \tfrac{x^{2}}{2}\Bigr)\Biggr]^{\!1/3}.

Resposta

y(x) = \Biggl[\,1 + \frac{3}{e^{27}}\Bigl(\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erfi}(x) + \tfrac{x^{2}}{2}\Bigr)\Biggr]^{\!1/3}.

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