Calcule a integral, onde \sigma é a fronteira do cilindro B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x^{2}+y^{2} \leq 1,0 \leq z \leq 1\right\}, F(x, y, z)=x \vec{i}+y \vec{j}+z^{2} \vec{k} e \vec{n} a normal apontando para fora de B.

Passo 1

Resumindo: queremos calcular
\iint_{\sigma}F\cdot \mathbf{n}\,dS
onde \sigma=\partial B é a superfície fechada do cilindro
B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2\le1,\;0\le z\le1\},
F(x,y,z) = x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} + z^2\,\mathbf{k} e \mathbf{n} aponta para fora.
Conteúdo: Teorema da divergência (Gauss).

Passo 2

Pelo Teorema da divergência temos
\iint_{\partial B}F\cdot \mathbf{n}\,dS \;=\;\iiint_{B}\nabla\cdot F\,dV.
Logo, basta achar \nabla\cdot F e integrar sobre o volume B.

Passo 3

Calculamos a divergência de F:
\nabla\cdot F = \frac{\partial}{\partial x}(x) + \frac{\partial}{\partial y}(y) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 1 + 1 + 2z = 2 + 2z.

Passo 4

Para integrar em B, use coordenadas cilíndricas (r,\theta,z):
dV = r\,dr\,d\theta\,dz,\quad 0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi,\;0\le z\le1.
Então
\iiint_{B}(2+2z)\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}(2+2z)\,r\,dz\,dr\,d\theta.
Primeiro em z:
\int_{0}^{1}(2+2z)\,dz = [2z + z^2]_{0}^{1} = 2 + 1 = 3.
Depois em r:
\int_{0}^{1}3r\,dr = \frac{3}{2}.
E finalmente em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\frac{3}{2}\,d\theta = \frac{3}{2}\cdot 2\pi = 3\pi.

Resposta

3\pi

Exercícios relacionados