Calcule a integral de linha \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \gamma é parametrizada por \vec{r}(t).
\vec{F}(x, y)=e^{x-1} \vec{i}+x y \vec{j}, \vec{r}(t)=t \vec{i}+t^{2} \vec{j}, 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y)=e^{x-1}\,\vec{i}+x y\,\vec{j}.
  • A curva \gamma é parametrizada por \vec{r}(t)=t\,\vec{i}+t^{2}\,\vec{j}, com 0\le t\le1.
    O que se pede: calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Regra prática para integrar um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada: se \vec{r}(t) parametrize a curva para t em [a,b], então
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Explicando as partes:
  • \vec{r}\,'(t) é a derivada da parametrização; representa o vetor tangente (velocidade) — computa-se componente a componente.
  • \vec{F}(\vec{r}(t)) significa substituir x e y pelos valores x(t) e y(t) dados pela parametrização.
  • O produto escalar \cdot entre esses dois vetores resulta numa função escalar de t que integrarmos de a até b.

Passo 3

Calculemos \vec{r}\,'(t) e \vec{F}(\vec{r}(t)).
A parametrização dá x(t)=t e y(t)=t^{2}. Então
\vec{r}\,'(t)=\frac{d}{dt}\big(t,\,t^{2}\big)=(1,\,2t).
Agora substituímos na expressão de \vec{F}:
\vec{F}(\vec{r}(t))=\big(e^{x-1},\,x y\big)\Big|_{x=t,\;y=t^{2}}=\big(e^{t-1},\,t\cdot t^{2}\big)=\big(e^{t-1},\,t^{3}\big).
Fazendo o produto escalar componente a componente:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)=e^{t-1}\cdot 1 + t^{3}\cdot (2t)=e^{t-1}+2t^{4}.

Passo 4

A integral de linha vira uma integral simples em t de 0 a 1:
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1}\big(e^{t-1}+2t^{4}\big)\,dt.
Separe em duas integrais para facilitar:
\int_{0}^{1}e^{t-1}\,dt + 2\int_{0}^{1}t^{4}\,dt.
Sobre as regras usadas:
  • Para exponencial: \displaystyle\int e^{t-1}\,dt=e^{t-1}+C porque a derivada de t-1 é 1.
  • Para potências: \displaystyle\int t^{4}\,dt=\frac{t^{5}}{5}+C pela regra \int t^{n}dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1} (quando n\neq -1).

Passo 5

Avalie cada integral nos limites 0 e 1.
Para a exponencial:
\int_{0}^{1}e^{t-1}\,dt=\big[e^{t-1}\big]_{0}^{1}=e^{1-1}-e^{0-1}=e^{0}-e^{-1}=1-\frac{1}{e}.
Para a potência:
2\int_{0}^{1}t^{4}\,dt=2\left[\frac{t^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=2\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5}.
Somando os dois resultados:
1-\frac{1}{e}+\frac{2}{5}=\frac{7}{5}-\frac{1}{e}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{5}-\frac{1}{e}

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