Considere as informações fornecidas:
g(2)=3 \quad g^{\prime}(2)=-2 \quad h(2)=-1 \quad h^{\prime}(2)=4
Determine f^{\prime}(2), em cada situação:
f(x)=[g(x)] .[h(x)]

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • g(2)=3
    • g^{\prime}(2)=-2
    • h(2)=-1
    • h^{\prime}(2)=4
  • Função que define f:
    • f(x)=[g(x)]\,[h(x)]
  • Pedido:
    • Determinar f^{\prime}(2).

Passo 2

Entendendo a regra que vamos usar: a regra do produto (product rule).
Se f(x)=g(x)\,h(x), a derivada de f em x é obtida pela regra do produto. Uma forma simples de ver por que essa regra vale é usar a definição limite da derivada e reorganizar termos. Começando de
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{g(x+h)h(x+h)-g(x)h(x)}{h},
escreve-se a diferença como soma de duas diferenças:
g(x+h)h(x+h)-g(x)h(x)=(g(x+h)-g(x))\,h(x+h)+g(x)\,(h(x+h)-h(x)).
Dividindo por h e tomando limite h\to0, obtém-se
f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\,h(x+h)+g(x)\,\lim_{h\to0}\frac{h(x+h)-h(x)}{h}.
Como h(x+h)\to h(x) quando h\to0, isso dá a fórmula conhecida:
f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)\,h(x)+g(x)\,h^{\prime}(x).
Explicando em palavras: a derivada do produto é a soma de “derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo” mais “manter o primeiro e derivar o segundo”.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao ponto x=2. Pela regra do produto:
f^{\prime}(2)=g^{\prime}(2)\,h(2)+g(2)\,h^{\prime}(2).

Passo 4

Substituindo os valores que o enunciado deu (peguei estes números do enunciado):
g^{\prime}(2)=-2,\qquad h(2)=-1,\qquad g(2)=3,\qquad h^{\prime}(2)=4.
Logo
f^{\prime}(2)=(-2)\cdot(-1)+3\cdot4.

Passo 5

Fazendo as contas passo a passo:
(-2)\cdot(-1)=2, \qquad 3\cdot4=12,
então
f^{\prime}(2)=2+12=14.

Resposta

14

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