Considere as informações fornecidas:
g(2)=3 \quad g^{\prime}(2)=-2 \quad h(2)=-1 \quad h^{\prime}(2)=4
Determine f^{\prime}(2), em cada situação:
f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}

Passo 1

O enunciado nos dá os valores em x=2:
g(2)=3,\qquad g'(2)=-2,\qquad h(2)=-1,\qquad h'(2)=4
e pede para determinar f'(2) quando
f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}.
Ou seja: calcular a derivada de f no ponto x=2 usando as informações fornecidas.

Passo 2

Precisamos usar a regra do quociente para derivar f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}. A regra do quociente diz que, sempre que h(x)\neq0,
f'(x)=\frac{g'(x)\,h(x)-g(x)\,h'(x)}{[h(x)]^{2}}.
Aqui:
  • g(x) e h(x) são as funções do numerador e denominador, respectivamente;
  • g'(x) e h'(x) são as derivadas de g e h;
  • o denominador [h(x)]^{2} aparece porque estamos dividindo por h(x) e a diferenciação do inverso gera um quadrado no denominador.
    Antes de aplicar, verifique que h(2)\neq0. Temos h(2)=-1\neq0, então a fórmula é válida em x=2.

Passo 3

Para entender de onde vem a regra do quociente, uma forma simples é reescrever f como produto:
f(x)=g(x)\cdot\bigl(h(x)\bigr)^{-1}.
Usa-se a regra do produto e a regra da cadeia para derivar \bigl(h(x)\bigr)^{-1}. A derivada de u^{-1} em relação a x (com u=h(x)) é
\frac{d}{dx}\bigl(u^{-1}\bigr) = -u^{-2}\,u' \quad\text{ou seja}\quad \frac{d}{dx}\bigl(h(x)^{-1}\bigr) = -\frac{h'(x)}{[h(x)]^{2}}.
Então, pela regra do produto,
f'(x)=g'(x)\,h(x)^{-1}+g(x)\cdot\left(-\frac{h'(x)}{[h(x)]^{2}}\right),
que, ao colocar sobre o mesmo denominador, dá exatamente a fórmula da regra do quociente mostrada no Passo 2.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da regra do quociente em x=2. Substituindo os valores conhecidos:
f'(2)=\frac{g'(2)\,h(2)-g(2)\,h'(2)}{[h(2)]^{2}}.
Calcule passo a passo:
g'(2)\,h(2)=(-2)\cdot(-1)=2,
g(2)\,h'(2)=3\cdot4=12,
\text{numerador}=2-12=-10,
\text{denominador}=[h(2)]^{2}=(-1)^{2}=1.
Portanto
f'(2)=\frac{-10}{1}=-10.

Resposta

-10

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