Considere as informações fornecidas:
Determine
, em cada situação:
Passo 1
O enunciado nos dá os valores em
:
e pede para determinar
quando
Ou seja: calcular a derivada de
no ponto
usando as informações fornecidas.
Passo 2
Precisamos usar a regra do quociente para derivar
. A regra do quociente diz que, sempre que
,
Aqui:
-
e são as funções do numerador e denominador, respectivamente; -
e são as derivadas de e ; - o denominador
aparece porque estamos dividindo por e a diferenciação do inverso gera um quadrado no denominador.
Antes de aplicar, verifique que. Temos , então a fórmula é válida em .
Passo 3
Para entender de onde vem a regra do quociente, uma forma simples é reescrever
como produto:
Usa-se a regra do produto e a regra da cadeia para derivar
. A derivada de
em relação a
(com
) é
Então, pela regra do produto,
que, ao colocar sobre o mesmo denominador, dá exatamente a fórmula da regra do quociente mostrada no Passo 2.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da regra do quociente em
. Substituindo os valores conhecidos:
Calcule passo a passo:
Portanto