Calcule a integral de linha
nos seguintes casos.
é o círculo de raio
e centro
percorrido no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o círculo de raio
e centro
percorrido no sentido anti-horário.
Informações dadas e objetivo claros:
Informações dadas e objetivo claros:
- O campo de vetores associado tem componentes
e . - A curva
é um contorno fechado simples (círculo) em sentido anti-horário (orientação positiva). - Objetivo: calcular
.
Passo 2
Verificar se o campo é conservativo (para saber se a integral de linha fechada é zero) e, se não for, escolher outro método.
Regra prática: para um campo com componentes e
com derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa, se
Regra prática: para um campo com componentes
o campo é conservativo. Caso contrário, o campo não é conservativo e podemos usar o Teorema de Green (quando a curva é o contorno de uma região do plano).
Calculemos as derivadas parciais:
Como
(especificamente,
), o campo NÃO é conservativo. Portanto não esperamos integral nula em geral.
Passo 3
Aplicar o Teorema de Green (válido porque
é o contorno positivo de um disco simples e
têm derivadas contínuas):
onde
é o disco de centro
e raio
. Substituindo a expressão já calculada:
Passo 4
Calcular a dupla integral
. Uma forma rápida e conceitual:
é a primeira coordenada do centro de massa vezes a área de
. O disco
tem centro em
, e área
. Logo
Portanto
Passo 5
(Faça também a conta direta em coordenadas polares centradas em
para ver o cálculo explícito.) Introduza coordenadas deslocadas
com
. O jacobiano é
. Então
Separe em duas integrais:
A primeira é
A segunda é zero porque
. Logo de novo
confirmando o resultado do passo anterior. Multiplicando por
obtemos
.