Calcule a integral de linha
\int_{\gamma} 2 x y d x+\left(y^{2}-x^{2}\right) d y
nos seguintes casos.
\gamma é o círculo de raio r>0 e centro C=(1,0) percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma} 2 x y\, d x+\left(y^{2}-x^{2}\right)\, d y
onde \gamma é o círculo de raio r>0 e centro C=(1,0) percorrido no sentido anti-horário.
Informações dadas e objetivo claros:
  • O campo de vetores associado tem componentes P(x,y)=2xy e Q(x,y)=y^{2}-x^{2}.
  • A curva \gamma é um contorno fechado simples (círculo) em sentido anti-horário (orientação positiva).
  • Objetivo: calcular \displaystyle\oint_{\gamma} P\,dx+Q\,dy.

Passo 2

Verificar se o campo é conservativo (para saber se a integral de linha fechada é zero) e, se não for, escolher outro método.
Regra prática: para um campo com componentes P e Q com derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa, se
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}
o campo é conservativo. Caso contrário, o campo não é conservativo e podemos usar o Teorema de Green (quando a curva é o contorno de uma região do plano).
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(y^{2}-x^{2}\right)=-2x, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(2xy\right)=2x.
Como \frac{\partial Q}{\partial x}\neq\frac{\partial P}{\partial y} (especificamente, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=-4x), o campo NÃO é conservativo. Portanto não esperamos integral nula em geral.

Passo 3

Aplicar o Teorema de Green (válido porque \gamma é o contorno positivo de um disco simples e P,Q têm derivadas contínuas):
\oint_{\gamma} P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA,
onde D é o disco de centro C=(1,0) e raio r. Substituindo a expressão já calculada:
\oint_{\gamma} 2 x y\, d x+\left(y^{2}-x^{2}\right)\, d y = \iint_{D}(-4x)\,dA.

Passo 4

Calcular a dupla integral \iint_{D}(-4x)\,dA. Uma forma rápida e conceitual: \iint_{D} x\,dA é a primeira coordenada do centro de massa vezes a área de D. O disco D tem centro em x=1, e área \pi r^{2}. Logo
\iint_{D} x\,dA = 1\cdot \pi r^{2} = \pi r^{2}.
Portanto
\iint_{D}(-4x)\,dA = -4\iint_{D} x\,dA = -4\pi r^{2}.

Passo 5

(Faça também a conta direta em coordenadas polares centradas em C para ver o cálculo explícito.) Introduza coordenadas deslocadas \;x=1+\rho\cos\theta,\; y=\rho\sin\theta\; com 0\le\rho\le r,\;0\le\theta\le2\pi. O jacobiano é \rho. Então
\iint_{D} x\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r}\bigl(1+\rho\cos\theta\bigr)\rho\,d\rho\,d\theta.
Separe em duas integrais:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r}\rho\,d\rho\,d\theta + \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r}\rho^{2}\cos\theta\,d\rho\,d\theta.
A primeira é
\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{r^{2}}{2}\right)d\theta = 2\pi\cdot\frac{r^{2}}{2}=\pi r^{2}.
A segunda é zero porque \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0. Logo de novo
\iint_{D} x\,dA=\pi r^{2},
confirmando o resultado do passo anterior. Multiplicando por -4 obtemos -4\pi r^{2}.

Resposta

-4\pi r^{2}

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